Skip to content

M4

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Ange kritiska axiallasten \(P_\mathrm{kr}\) för de båda balkarna i figuren. Balken i den övre figuren är ledad över mellanstödet, medan balken i den nedre figuren är kontinuerlig.

Lösning

Övre figuren:

Eftersom det är en led i mitten kan balkarna rotera fristående från varandra och beter sig som två fritt upplagda balkar. Den kritiska lasten motsvarar därför en Euler 2:a.

Undre figuren:

Den här konstruktionen kan knäcka på olika sätt.

Det ena fallet är när båda balkdelarna knäcker åt samma håll (uppåt eller nedåt). Detta innebär att rotationen av balken måste vara noll vid mittenstödet, vilket motsvarar att varje balkdel knäcker som en Euler 3:a

Det andra fallet är när balkdelarna knäcker åt olika håll (en uppåt och den andra nedåt, eller tvärtom). Eftersom de två sidorna böjer åt olika håll har de därför olika krökningar \(-w^\bis\) -- en positiv, den andra negativ. Men, precis vid mittenstödet måste krökningen vara noll eftersom den byter tecken från ena sidan till den andra. Från det här resonemanget får vi \(M = -EI\, w^\bis = 0\), dvs momentet är noll i mitten av balken. Detta innebär därför att strukturen knäcker som två fritt upplagda balkar (men åt var sitt håll) och den kritiska lasten motsvarar en Euler 2:a (vilket är mindre än Euler 3).

Vi konstaterar därför att den kritiska lasten för de båda balkstrukturerna är lika stora: \(P_{\mathrm{kr}} = \dfrac{\pi^2 \, EI}{L^2}\).

Kommentar

Punkten där krökningen byter tecken kallas för en inflexionspunkt.

Back to top