Skip to content

Huvudspänningar och effektivspänningar enligt Tresca

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Spänningstillståndet i en punkt visualiseras i figuren, där spänningarna är angivna i MPa. Beräkna samtliga huvudspänningar och huvudspänningsriktningar samt effektivspänningen enligt Tresca.

Facit

  • \(\sigma_{\rm I} = 68.5 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm II} = 0.0 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm III} = -128.5 \MPa\)
  • \(\sige = 197.0 \MPa\)

Lösning

Lösningsgång

  • Ställ upp spänningsmatrisen \(\S\) utifrån figuren och lös egenvärdersproblemet \(\paren{\S - \sigma \eye} = 0\).
  • Med huvudspänningarna beräknade, räkna ut huvudspänningsriktningarna och effektivspänningen.

Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar

Spänningsmatrisen

\[ \S = \begin{bmatrix} -120 & 0 & 40 \\ - 0 & 0 & 0 \\ 40 & 0 & 60 \end{bmatrix} \]

Spänningsmatrisen beskriver ett plant spänningstillstånd och kan skrivas om som som en 2x2-matris (ej nödvändigt)

\[ \S = \begin{bmatrix} -120 & 40 \\ 40 & 60 \end{bmatrix} \]

Huvudspänningar

\[ \begin{align} \det(\S-\sigma\eye) &= \paren{ -120- \sigma}\paren{ 60- \sigma} -40^2 = 0 \gives \newline \sigma_{\rm{I, II}} &= -30 \pm \sqrt{ 90^2 + 40^2 } = -30 \pm 98.5 \MPa \gives \end{align} \]
  • \(\sigma_{\rm I} = 68.5 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm II} = 0.0 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm III} = -128.5 \MPa\)

Huvudspänningsriktningar:

Vi börjar med riktningen tillhörande \(\sigma_\rm I\):

\[\begin{bmatrix} -120-68.5 & 40 \\ 40 & 60-68.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1x} \\ n_{1z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -188.5 & 40 \\ 40 & -8.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1x} \\ n_{1z} \end{bmatrix} \]

Första ekvationen ger: $$ \bar{n} {1x} = \frac{8.5}{40}n \gives \bar{\normal}1 = \begin{bmatrix} \frac{8.5}{0.0} \\ 1.0 \end{bmatrix} n \gives $$

\[ \normal_1 = \frac{1}{\sqrt{ \paren{\frac{8.5}{40}} +1^2}} \begin{bmatrix} \frac{8.5}{40} \\ 1.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.21 \ 0.98 \end{bmatrix} \]

Vi tar fram den tredje riktningen genom att använda relationen \(\normal_1 \cdot \normal_3 = 0 \gives\) $$ \normal_3 = \begin{bmatrix} 0.98 \\ -0.21 \end{bmatrix} $$ Den andra huvudspänningen (\(\sigma_{\rm{II}} = 0\)) motsvarar riktningen given av koordinataxeln \(y\).

Effektivspänning enligt Tresca

Eftersom vi ordnat huvudspänningarna i storleksordning kan effektivspänningen räknas ut som \(\sige = \abs{\sigma_{\rm I} - \sigma_{\rm 3}} \gives\) $$ \sige = \abs{ 68.5 - \paren{-128.5} } = 197.0 \MPa $$

Back to top