Skip to content

H4

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Spänningstillståndet i en punkt beskrivs med spänningsmatrisen \(\S\) och ges här som $$ \S = \begin{bmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{bmatrix} \MPa $$

Beräkna:

  • Spänningsvektorn \(\s\) på snittytan given av \(\bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1 \\ 2\\ 1 \end{bmatrix}\)
  • Normal och skjuvspänningen på ytan definierad av \(\bar{\normal}\)
  • Huvudspänningarna och första huvudspänningsriktningen \(\normal_{\rm I}\)

Facit

  • \(\s =\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}160 \\\ 60\\\ 120\end{bmatrix} \MPa\)
  • \(\sigma = \frac{200}{3} \MPa\) \(\tau = 53 \MPa\)
  • \(n_{\rm{I}}=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}2 \\\ 1 \\\ 1 \end{bmatrix}\)

Lösning

Spänningsvektorn

\[ \s = \S * \normal = \begin{bmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 160 \\ 60 \\ 120 \end{bmatrix} \MPa \]

Normal- och skjuvspänning

Magnituden på normalspänningen kan beräknas som projektionen av \(\s\) på normalvektorn \(\normal\)

\[ \begin{align} \sigma &= \s \cdot \bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 160 & 60 & 120\end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6}\begin{bmatrix}160\cdot 1 + 60 \cdot 2 + 120\cdot 1 \end{bmatrix} = \frac{200}{3} \MPa \end{align} \]

Skjuvspänningen beräknas exempelvis m.h.a. Pythagoras sats

\[ \abs{\s}^2 = \sigma^2 + \tau^2 \qgives \tau = \sqrt{\abs{\s}^2 - \sigma^2} \]

med \(\abs{\s}^2 = \s \cdot \s\). Vi får

\[ \tau = \sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{6}^2} \begin{bmatrix} 160^2 + 60^2 + 120^2 \end{bmatrix} -\paren{\frac{200}{3}}^2} \approx 53.1 \MPa \]

Huvudspänningar och första huvudspänningsriktningen

Huvudspänningarna beräknas genom att lösa egenvärdesproblemet som leder till ekvationen \(\det \paren{\S -\sigma \eye} = 0\), vilket för ett tredimensionellt spänningstillstånd (\(\S\) är 3x3) ger tre stycken huvudspänningar.

Utveckla determinanten, exempelvis med Sarrus regel eller med underdeterminanter (Laplaceutveckling), se bl.a. Wikipedia.

\[ \begin{align} \det \paren{\S -\sigma \eye} &= \paren{80-\sigma}(-\sigma)\paren{80-\sigma} + 40 \cdot 20 \cdot 0 + 0\cdot 40 \cdot 20 - \\ &\paren{ 0\cdot (-\sigma) \cdot 0 + 20\cdot 20\paren{80-\sigma} + \paren{80 - \sigma}\cdot 40 \cdot 40} = 0 \gives \\ &\paren{80 - \sigma}\paren{ \paren{80-\sigma}(-\sigma) - 20^2 -40^2 } = 0 \end{align} \]

En rot är 80 MPa och de andra två kan lösas utifrån uttrycket som står innanför den högra parentesen ovan, vi får efter förenkling \(\sigma^2 -80 \sigma -2000 = 0\) med lösningar:

\[ \sigma = \frac{80}{2} \pm \sqrt{ \paren{\frac{80}{2}}^2 + 2000 }= 40 \pm 60 \MPa \]

De tre huvudspänningarna, ordnade i storleksordning, blir därmed

  • \(\sigma_{\rm I} = 100 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm II} = 80 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm III} = -20 \MPa\)

Huvudspänningsriktning

Vi återgår till egenvärdesproblemet $\paren{\S -\sigma \eye}\normal =\b{0} $, vilket för den första huvudspänningen ger

\[ \paren{\S -\sigma_{\rm I} \, \eye}\\, normal_{\rm I} =\b{0} \]

och med utskrivna matriser och vektorer

\[ \begin{bmatrix} 80-\sigma_{\rm I} & 40 & 0 \\ 40 & -\sigma_{\rm I} & 20 \\ 0 & 20 & 80-\sigma_{\rm I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} =\\ \begin{bmatrix} -20 & 40 & 0 \\ 40 & -100 & 20 \\ 0 & 20 & -20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Första ekvationen ger att

\[ -20n_{\rm{I}x} + 40 n_{\rm{I}y} = 0 \equivalent n_{\rm{I}x} = 2 n_{\rm{I}y} \]

Tredje ekvationen ger att $$ 20n_{\rm{I}y} - 20 n_{\rm{I}z} = 0 \equivalent n_{\rm{I}z} = n_{\rm{I}y} $$

Sätter vi in dessa uttryck för \(n_{\rm Ix}\) och \(n_{\rm Iz}\) får vi

\[ \normal_{\rm I} =\begin{bmatrix}n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} n_{\rm{I}y} \]

normalisera för att hitta en enhetsvektor

\[ \hat{\normal} _{\rm{I}} = \frac{ n _{\rm{I}} }{ \abs{n _{\rm{I}}} } = \frac{ n _{\rm{I}} }{ \sqrt{ n _{\rm{I}}\cdot n _{\rm{I}} } } = \frac{1}{n _{\rm{I}y} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} n _{\rm{I}y}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Matlab

S = [80 40  0 
     40  0 20 
      0 20 80];
%% 1. 
n_bar = 1/sqrt(6) * [1 2 1]'

s = S*n_bar

%% 2.
sig_n = s' * n_bar 

%% 3.
[principal_stresses, principal_directions] = eigs(S);

sig1 = principal_stresses(1)
sig2 = principal_stresses(2)
sig3 = principal_stresses(3)
n1 = principal_directions(:,1)
Back to top