H4

Beskrivning¶

Spänningstillståndet i en punkt beskrivs med spänningsmatrisen $\S$ och ges här som $$ \S = \begin{bmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{bmatrix} \MPa $$

Beräkna:

Spänningsvektorn $\s$ på snittytan given av $\bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1 \\ 2\\ 1 \end{bmatrix}$
Normal och skjuvspänningen på ytan definierad av $\bar{\normal}$
Huvudspänningarna och första huvudspänningsriktningen $\normal_{\rm I}$

Facit¶

$\s =\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}160 \\\ 60\\\ 120\end{bmatrix} \MPa$
$\sigma = \frac{200}{3} \MPa$ $\tau = 53 \MPa$
$n_{\rm{I}}=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}2 \\\ 1 \\\ 1 \end{bmatrix}$

Lösning¶

Spänningsvektorn¶

\[ \s = \S * \normal = \begin{bmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 160 \\ 60 \\ 120 \end{bmatrix} \MPa \]

Normal- och skjuvspänning¶

Magnituden på normalspänningen kan beräknas som projektionen av $\s$ på normalvektorn $\normal$

\[ \begin{align} \sigma &= \s \cdot \bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 160 & 60 & 120\end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6}\begin{bmatrix}160\cdot 1 + 60 \cdot 2 + 120\cdot 1 \end{bmatrix} = \frac{200}{3} \MPa \end{align} \]

Skjuvspänningen beräknas exempelvis m.h.a. Pythagoras sats

\[ \abs{\s}^2 = \sigma^2 + \tau^2 \qgives \tau = \sqrt{\abs{\s}^2 - \sigma^2} \]

med $\abs{\s}^2 = \s \cdot \s$. Vi får

\[ \tau = \sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{6}^2} \begin{bmatrix} 160^2 + 60^2 + 120^2 \end{bmatrix} -\paren{\frac{200}{3}}^2} \approx 53.1 \MPa \]

Huvudspänningar och första huvudspänningsriktningen¶

Huvudspänningarna beräknas genom att lösa egenvärdesproblemet som leder till ekvationen $\det \paren{\S -\sigma \eye} = 0$, vilket för ett tredimensionellt spänningstillstånd ($\S$ är 3x3) ger tre stycken huvudspänningar.

Utveckla determinanten, exempelvis med Sarrus regel eller med underdeterminanter (Laplaceutveckling), se bl.a. Wikipedia.

\[ \begin{align} \det \paren{\S -\sigma \eye} &= \paren{80-\sigma}(-\sigma)\paren{80-\sigma} + 40 \cdot 20 \cdot 0 + 0\cdot 40 \cdot 20 - \\ &\paren{ 0\cdot (-\sigma) \cdot 0 + 20\cdot 20\paren{80-\sigma} + \paren{80 - \sigma}\cdot 40 \cdot 40} = 0 \gives \\ &\paren{80 - \sigma}\paren{ \paren{80-\sigma}(-\sigma) - 20^2 -40^2 } = 0 \end{align} \]

En rot är 80 MPa och de andra två kan lösas utifrån uttrycket som står innanför den högra parentesen ovan, vi får efter förenkling $\sigma^2 -80 \sigma -2000 = 0$ med lösningar:

\[ \sigma = \frac{80}{2} \pm \sqrt{ \paren{\frac{80}{2}}^2 + 2000 }= 40 \pm 60 \MPa \]

De tre huvudspänningarna, ordnade i storleksordning, blir därmed

$\sigma_{\rm I} = 100 \MPa$
$\sigma_{\rm II} = 80 \MPa$
$\sigma_{\rm III} = -20 \MPa$

Huvudspänningsriktning¶

Vi återgår till egenvärdesproblemet $\paren{\S -\sigma \eye}\normal =\b{0} $, vilket för den första huvudspänningen ger

\[ \paren{\S -\sigma_{\rm I} \, \eye}\\, normal_{\rm I} =\b{0} \]

och med utskrivna matriser och vektorer

\[ \begin{bmatrix} 80-\sigma_{\rm I} & 40 & 0 \\ 40 & -\sigma_{\rm I} & 20 \\ 0 & 20 & 80-\sigma_{\rm I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} =\\ \begin{bmatrix} -20 & 40 & 0 \\ 40 & -100 & 20 \\ 0 & 20 & -20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Första ekvationen ger att

\[ -20n_{\rm{I}x} + 40 n_{\rm{I}y} = 0 \equivalent n_{\rm{I}x} = 2 n_{\rm{I}y} \]

Tredje ekvationen ger att $$ 20n_{\rm{I}y} - 20 n_{\rm{I}z} = 0 \equivalent n_{\rm{I}z} = n_{\rm{I}y} $$

Sätter vi in dessa uttryck för $n_{\rm Ix}$ och $n_{\rm Iz}$ får vi

\[ \normal_{\rm I} =\begin{bmatrix}n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} n_{\rm{I}y} \]

normalisera för att hitta en enhetsvektor

\[ \hat{\normal} _{\rm{I}} = \frac{ n _{\rm{I}} }{ \abs{n _{\rm{I}}} } = \frac{ n _{\rm{I}} }{ \sqrt{ n _{\rm{I}}\cdot n _{\rm{I}} } } = \frac{1}{n _{\rm{I}y} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} n _{\rm{I}y}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Matlab¶

S = [80 40  0 
     40  0 20 
      0 20 80];
%% 1. 
n_bar = 1/sqrt(6) * [1 2 1]'

s = S*n_bar

%% 2.
sig_n = s' * n_bar 

%% 3.
[principal_stresses, principal_directions] = eigs(S);

sig1 = principal_stresses(1)
sig2 = principal_stresses(2)
sig3 = principal_stresses(3)
n1 = principal_directions(:,1)