Skip to content

G6

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna och rita huvudspänningarnas storlek och riktning i punkten A för konsolbalken. (se kompendiet för figur)

Lösning

Lösningsgång

För att kunna bestämma huvudspänningarna och tillhörande riktningar behöver vi först ta reda på spänningstillståndet i punkten.

Belastningsfallet ger upphov till snittkrafter vid infästningen -- böjmoment och tvärkraft. När vi bestämt dessa kan vi beräkna normalspänning \(\sigma\) p.g.a. böjmomentet och skjuvspänningen \(\tau_{xz}\) p.g.a. tvärkraften. Detta är de enda två spänningskomponenter som uppstår vid plan böjning av balkar.

Snittkrafter

Vi är endast intresserade av att bestämma snittkrafterna vid \(x=0\) och därför behöver vi inte ställa upp uttryck för hur dessa varierar med \(x\). Snitta vid infästnignen och frilägg den högra balkdelen. Jämvikt ger

\[\eqdown T(0) + P = 0 \gives T(0) = - P\]
\[\eqccwmom{x=0} M(0) - P\, L = 0 \gives M(0) = P\, L\]

Beräkning av spänningar

Punkten A ges av koordinaten \((x=0, z=30\mm)\)

Naviers formel \(\sigma(x,z) =  \frac{M_y(x)}{I_y}\,z \gives\)

\[ \sigma_A = \frac{M(0)}{I_y}\,z_A = \frac{P\, L}{I_y}\,z_A = \frac{120\cdot 10^3 \cdot 0.75}{ \frac{0.1\cdot 0.15^3}{12} }\, 0.030 = 96 \MPa\]

Jourawskis formel \(\tau_{xz}(x,z) =  \frac{S_y(z)\, T(x)}{I_y\,b}\gives\)

\[ \begin{align} S_y(z_A) &= a_z \cdot A_z = \paren{ \frac{h}{2} - \frac{ \frac{h}{2} - z_A}{2} } \cdot b\, \paren{ \frac{h}{2} - z_A} \newline &=\ldots\approx 2.36\cdot10^{-4} \meter^3 \end{align} \]
\[\tau_A =  \frac{S_y(z_A)\, T(0)}{I_y\,b} = \frac{2.36\cdot10^{-4} \cdot (-120\cdot 10^3)}{\frac{0.1\cdot 0.15^3}{12} \cdot 0.1} \approx -10\MPa\]

Huvudspänningar

Utifrån beräkningarna ovan kan spänningstillståndet i punkten A därmed beskrivas med spänningsmatrisen

\[\S_A = \begin{bmatrix}96 & -10 \\ -10 & 0 \end{bmatrix}\quad \MPa\]

Vi löser egenvärdesproblemet

\[\det \paren{ \begin{bmatrix}96-\sigma & -10 \\ -10 & -\sigma \end{bmatrix} } = (96-\sigma)(-\sigma) - (10)^2 = \sigma^2 - 96 \sigma - 10^2 = 0\]
\[ \gives \sigma_{1,2} = \frac{96}{2} \pm \sqrt{ (96/2)^2 + 10^2 } \approx (97, -1) \MPa \]

Huvudspänningsriktningar

Vi väljer att bestämma den andra riktningen först (som omväxling)

\[\paren{\S-\sigma_2 \eye}\, \normal_2 = \begin{bmatrix}96+1 & -10 \\ -10 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_{2x} \\ n_{2y} \end{bmatrix} = \b{0} \gives\]

Första ekvationen (första raden) ger \(n_{2x} = \dfrac{10}{97}n_{2y}\)

Normera riktningsvektorn \(\normal_2\):

\[\hat{\normal}_2 = \frac{\normal_2}{\abs{\normal_2}} = \frac{1}{\sqrt{ \paren{\frac{10}{96}}+1^2 } }\begin{bmatrix}\frac{10}{96} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.99 \\ 0.1 \end{bmatrix}\]

Den andra riktningen kan exempelvis tas fram genom ortogonalitet (d.v.s. att skalärprodukten måste vara noll):

\(\hat{\normal}_1 \cdot \hat{\normal}_2  = 0 \Rightarrow\)

\[\hat{\normal}_1  = \pm \begin{bmatrix}0.1 \\ -0.99 \end{bmatrix}\]

Vinkeln, mot \(x-\)axeln, som detta motsvarar: \(\alpha = \arctan(-0.1/0.99) \approx -5.8^\circ\). Huvudspänningsriktningarna fås, alltså, genom att rotera koordinatsystemet medsols ca 6 grader.

Back to top