G6
$$
\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1}
\newcommand{\eye}{\mathbf I}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\S}{\b{S}}
\newcommand{\s}{\b{s}}
\newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}}
\newcommand{\normal}{\b{n}}
\newcommand{\medel}{\rm{mean}}
\newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad}
\newcommand{\qgives}{\qquad \gives}
\newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,}
\newcommand{\rot}{\varphi}
\newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad}
\newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}}
\newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}}
\newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}}
\newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}}
\newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}}
\newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}}
\newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}}
\newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}}
\newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}}
\newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}}
\newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}}
\newcommand{\mean}[1]{\bar #1}
\newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad}
\newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad}
\newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad}
\newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad}
\newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad}
\newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad}
\newcommand{\Dx}{\Delta x}
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
\newcommand{\Dz}{\Delta z}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d} x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d} y}
\newcommand{\dz}{\mathrm{d} z}
\newcommand{\term}{\mathrm{th}}
\newcommand{\Mv}{T}
\newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}}
\newcommand{\shear}{\gamma}
\renewcommand{\*}{\cdot}
\renewcommand{\cd}{\cdot}
\newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}}
\renewcommand{\bis}{{\prime \prime}}
\renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}}
\newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}}
\newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\yield}{\rm{s}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\dr}{\rm{d} r}
\newcommand{\Dr}{\Delta r}
\newcommand{\Drot}{\Delta \rot}
\newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}}
\newcommand{\q}{q}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}}
\newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}}
\newcommand{\tot}{\rm{tot}}
\newcommand{\parts}{\rm{parts}}
\newcommand{\nparts}{\# \parts}
\newcommand{\flange}{\text{fläns}}
\newcommand{\web}{\text{liv}}
\newcommand{\crit}{\rm{cr}}
\newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}}
\newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi}
\newcommand{\x}{\b{x}}
\newcommand{\K}{\b{K}}
\newcommand{\Ke}{\K^e}
\newcommand{\f}{\b{f}}
\newcommand{\fe}{\f^e}
\newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}}
\newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}}
\newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}}
\newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}}
\newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}}
\newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}}
\newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}}
\newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e}
\newcommand{\N}{\b{N}}
\newcommand{\B}{\b{B}}
\newcommand{\Ne}{\b{N}^e}
\newcommand{\Be}{\b{B}^e}
\newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\J}{\b{J}}
\newcommand{\bxi}{\b{\xi}}
\newcommand{\hp}{\hphantom{-}}
\newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}}
\newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}}
\newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}}
\newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}}
\newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}}
\newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1}
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL }
\newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA }
\newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV }
\newcommand{\Ndofs}{n}
\newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}}
\newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}}
\newcommand{\avec}{\b{a}}
\renewcommand{\a}{\b{a}}
\newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\renewcommand{\r}{\mathbf{r}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\origin}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}}
\renewcommand{\deg}{^\circ}
\newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}}
\nonumber$$
Beskrivning
Beräkna och rita huvudspänningarnas storlek och riktning i punkten A för konsolbalken. (se kompendiet för figur)
Lösning
Lösningsgång
För att kunna bestämma huvudspänningarna och tillhörande riktningar behöver vi först ta reda på spänningstillståndet i punkten.
Belastningsfallet ger upphov till snittkrafter vid infästningen -- böjmoment och tvärkraft. När vi bestämt dessa kan vi beräkna normalspänning \(\sigma\) p.g.a. böjmomentet och skjuvspänningen \(\tau_{xz}\) p.g.a. tvärkraften. Detta är de enda två spänningskomponenter som uppstår vid plan böjning av balkar.
Snittkrafter
Vi är endast intresserade av att bestämma snittkrafterna vid \(x=0\) och därför behöver vi inte ställa upp uttryck för hur dessa varierar med \(x\). Snitta vid infästnignen och frilägg den högra balkdelen. Jämvikt ger
\[\eqdown T(0) + P = 0 \gives T(0) = - P\]
\[\eqccwmom{x=0} M(0) - P\, L = 0 \gives M(0) = P\, L\]
Beräkning av spänningar
Punkten A ges av koordinaten \((x=0, z=30\mm)\)
Naviers formel \(\sigma(x,z) = \frac{M_y(x)}{I_y}\,z \gives\)
\[ \sigma_A = \frac{M(0)}{I_y}\,z_A = \frac{P\, L}{I_y}\,z_A = \frac{120\cdot 10^3 \cdot 0.75}{ \frac{0.1\cdot 0.15^3}{12} }\, 0.030 = 96 \MPa\]
Jourawskis formel \(\tau_{xz}(x,z) = \frac{S_y(z)\, T(x)}{I_y\,b}\gives\)
\[
\begin{align}
S_y(z_A) &= a_z \cdot A_z = \paren{ \frac{h}{2} - \frac{ \frac{h}{2} - z_A}{2} } \cdot b\, \paren{ \frac{h}{2} - z_A} \newline
&=\ldots\approx 2.36\cdot10^{-4} \meter^3
\end{align}
\]
\[\tau_A = \frac{S_y(z_A)\, T(0)}{I_y\,b} = \frac{2.36\cdot10^{-4} \cdot (-120\cdot 10^3)}{\frac{0.1\cdot 0.15^3}{12} \cdot 0.1} \approx -10\MPa\]
Huvudspänningar
Utifrån beräkningarna ovan kan spänningstillståndet i punkten A därmed beskrivas med spänningsmatrisen
\[\S_A = \begin{bmatrix}96 & -10 \\ -10 & 0 \end{bmatrix}\quad \MPa\]
Vi löser egenvärdesproblemet
\[\det \paren{ \begin{bmatrix}96-\sigma & -10 \\ -10 & -\sigma \end{bmatrix} } = (96-\sigma)(-\sigma) - (10)^2 = \sigma^2 - 96 \sigma - 10^2 = 0\]
\[
\gives \sigma_{1,2} = \frac{96}{2} \pm \sqrt{ (96/2)^2 + 10^2 } \approx (97, -1) \MPa
\]
Huvudspänningsriktningar
Vi väljer att bestämma den andra riktningen först (som omväxling)
\[\paren{\S-\sigma_2 \eye}\, \normal_2 =
\begin{bmatrix}96+1 & -10 \\ -10 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_{2x} \\ n_{2y} \end{bmatrix} = \b{0} \gives\]
Första ekvationen (första raden) ger \(n_{2x} = \dfrac{10}{97}n_{2y}\)
Normera riktningsvektorn \(\normal_2\):
\[\hat{\normal}_2 = \frac{\normal_2}{\abs{\normal_2}} = \frac{1}{\sqrt{ \paren{\frac{10}{96}}+1^2 } }\begin{bmatrix}\frac{10}{96} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.99 \\ 0.1 \end{bmatrix}\]
Den andra riktningen kan exempelvis tas fram genom ortogonalitet (d.v.s. att skalärprodukten måste vara noll):
\(\hat{\normal}_1 \cdot \hat{\normal}_2 = 0 \Rightarrow\)
\[\hat{\normal}_1 = \pm \begin{bmatrix}0.1 \\ -0.99 \end{bmatrix}\]
Vinkeln, mot \(x-\)axeln, som detta motsvarar: \(\alpha = \arctan(-0.1/0.99) \approx -5.8^\circ\). Huvudspänningsriktningarna fås, alltså, genom att rotera koordinatsystemet medsols ca 6 grader.