Skip to content

G2

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

I en punkt i livet på en balk, är spänningen \(\sigma_x = 60 \MPa\), \(\sigma_z = 0 \MPa\) och \(\tau_{xz} = -27 \MPa\). Beräkna huvudspänningar och huvudspänningsriktningar.

Lösning

Spänningstillståndet i punkten ges av de tre angivna spänningarna, vi samlar dessa i spänningsmatrisen (för et 2D-tillstånd)

\[\S = \begin{bmatrix} 60 & -27 \newline -27 & 0 \end{bmatrix}\quad \MPa\]

Huvudspänningarna för ett tvådimensionellt spänningstillstånd beräknas som

\[\sigma_1 = \frac{1}{2} ( \sigma_x+\sigma_y ) + R\]
\[\sigma_2 = \frac{1}{2} ( \sigma_x+\sigma_y ) - R\]
\[R=\sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } = \sqrt{ \left( \frac{60-0}{2} \right)^2 + (-27)^2 } \approx 40.4 \MPa \]
\[\sigma_1 = \frac{1}{2} ( 60+0) + 40.4 = 70.4 \MPa\]
\[\sigma_2 = \frac{1}{2} ( 60+0) - 40.4 = -10.4 \MPa\]

och riktningen ges av

\[\sin(2 \psi_1) = \dfrac{ \tau_{xy}}{R} = \dfrac{ -27}{ 40.4} \gives \psi_! \approx 21^\circ\]

Den andra riktningen ligger 90 grader roterat \(\psi_2 = \psi_1 + 90^\circ = 6^\circ\).

Det går också lika bra att lösa egenvärdesproblemet för att bestämma huvudspänningarna och tillhörande riktningar:

\[(\b{S} - \sig \eye) \normal = \b{0} \quad \Rightarrow \quad \det(\b{S} - \sig \eye ) = 0 \gives\]
\[\paren{60-\sigma}(-\sigma) - (-27)^2 = \sigma^2 -60\sigma -27^2 = 0 \gives\]
\[\sigma = 30 \pm\sqrt{30^2+27^2} = 30 \pm \sqrt{1629} \MPa\]

Huvudspänningsriktningarna bestäms utifrån \((\b{S} - \sig \eye) \normal = \b{0}\):

Första huvudspänningsriktningen

\[\begin{bmatrix} 60-70.4 & -27 \newline -27 & -70.4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_{1x} \newline n_{1y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \newline 0 \end{bmatrix} \gives\]

Första ekvationen ger \(-10.4 n_{1x} -27 n_{1y} = 0 \gives n_{1x} = -\frac{27}{10.4}n_{1y} \gives\)

\[\normal_1 = \begin{bmatrix}n_{1x} \newline n_{1y} \end{bmatrix} = n_{1y} \begin{bmatrix}-\frac{27}{10.4} \newline 1 \end{bmatrix}\]

Normalisera

\[\hat{\normal}_1 = \frac{\normal_1 }{\abs{\normal_1 }} = \frac{1}{ \sqrt{\paren{-\frac{27}{10.4}}^2+1^2} } \begin{bmatrix}-\frac{27}{10.4} \newline 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}-0.93 \newline 0.36 \end{bmatrix}\]

Andra huvudspänningsriktningen

Gör på motsvarande sätt men sätt in \(\sigma_2\): \((\b{S} - \sig_2 \eye) \normal = \b{0}\).

För ett 2D-tillstånd är det också smidigt att bestämma den andra riktningen utifrån villkoret att de är ortogonala, dvs skalärprodukten \(\normal_1 \cdot \normal_2 = 0 \gives\)

\[\begin{bmatrix}n_{1x} \newline n_{1y} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}n_{2x} \newline n_{2y} \end{bmatrix} = n_{1x} \,n_{2x} + n_{1y}\, n_{2y} = 0\]

Välj exempelvis \(n_{2x} = -n_{1y}\) och \(n_{2y} = n_{1x}\) som uppfyller ekvationen, \(n_{1x} \,(-n_{1y}) + n_{1y}\, n_{1x}=0\). Detta val innebär också att \(\abs{\normal_2} = \abs{\normal_1}\). Den andra huvudspänningsriktningen blir därmed

\[\hat{\normal}_2 =\begin{bmatrix}-0.36 \newline -0.93 \end{bmatrix}\]

Notera att vektorn \(-\hat{\normal}_2\) är en minst lika bra riktning.

Back to top