Skip to content

G15

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

För konsolbalken nedan med rektangulärt tvärsnitt, beräkna och rita huvudspänningarna i punkten A, m.h.a. Mohrs cirkel. Punkten ligger på ett z-avstånd \(z_{\rm A}\) från tvärsnittets ytcentrum.

Given data:

  • \(z_{\rm A} = 30 \mm\)
  • \(L = 750 \mm\)
  • \(b = 100 \mm\)
  • \(h = 150 \mm\)
  • \(P = 120 \kN\)

Facit

Huvudspänningarna:

  • \(\sigma_{\rm I} = 97 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm II} = -1 \MPa\)
  • Huvudspänningsriktningarna fås genom att rotera koordinatsystemet medurs en vinkel \(5.9^{\circ}\).

Lösning

Lösningsgång

För att kunna beräkna huvudspänningarna i punkten A, behöver vi först beräkna spänningstillståndet i punkten. För det aktuella lastfallet får vi normalspänningar och skjuvspänningar p.g.a. böjning av balken.

\(\sigma_x = \dfrac{M_y}{I_y}z\) och \(\tau_{xz} = \dfrac{S_y T_z}{I_y b}\)

och där övriga spänningskomponenter är noll.

Snittkrafter

Snitta vid infästningen och ställ upp jämvikt

\[ \equp T_{\rm A} = -P = -120 \kN \]
\[ \eqccwmom{A} M_{\rm A} = PL = 90 \kNm \]

Yttröghetsmomentet: \(I_y = \dfrac{b h^3}{12} \approx 2.81 \cdot 10^{-5} \meter^4\)

Normalspänning

\[ \sigma_{\rm A} = \frac{M_{\rm A}}{I_y}z_{\rm A} = \frac{ 90 \cdot 10^3 }{2.81\cdot 10^{-5}} \cdot 0.030 \approx 96 \MPa \]

Skjuvspänning

Statiskt ytmoment vid A:

\[ S_{\rm A} = A\cdot a = b(\frac{h}{2}-z_{\rm A}) \cdot \paren{ z_{\rm A} + \frac{\frac{h}{2}-z_{\rm A}}{2} }\ldots = 2.36\cdot 10^{-4} \meter^3 \]
\[ \tau_{\rm A} = \frac{S_{\rm A}\, T_{\rm A} }{I_y \,b} = \frac{2.36\cdot 10^{-4} (-120) \cdot 10^3}{ 2.81\cdot 10^{-5} \cdot 0.10 } \approx -10\MPa \]

Spänningstillståndet i punkten A

\[ \S = \begin{bmatrix} 96 & -10 \\ -10 & 0 \end{bmatrix} \MPa \]

Observera riktningarna på skjuvspänningarna.

Huvudspänningar med Mohrs cirkel

Mittpunkten av cirkeln fås som \(\sigma_{\rm m} = \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = 48 \MPa\). Radien av cirkeln kan beräknas som

\[ \tau = \sqrt{ \tau_{xz}^2 + (\sigma_x-\sigma_{\rm m}) } = \sqrt{(-10)^2 + \paren{96-48}^2} = 49 \MPa \]

Mohrs cirkel kan därmed ritas upp

vilket ger huvudspänningarna

  • \(\sigma_{\rm I} = \sigma_{\rm m} + R = 48 +49 = 97 \MPa\)
  • \(\sigma_{\rm II} = \sigma_{\rm m} - R = 48 -49 = -1 \MPa\)

Huvudspänningsriktningar:

Beräknas genom

\[ \tan(2\varphi) = \frac{ \abs{\tau_{xz}} }{ \abs{ \sigma_x - \sigma_{\rm m} }} \gives \varphi = \frac{1}{2} \arctan(\frac{10}{96-48})\approx 5.9^{\circ} \]

Nedan visas rotationen av spänningstillståndet från vårt ursprungliga \(xz\)-system till vårt huvudspänningssystem.

Back to top