Skip to content

D9

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna nedböjningen av balken i den fria änden. Balken har en böjstyvhet \(EI\).

Facit

Nedböjningen blir \(w(3L) = -\frac{PL^3}{EI}\)

Lösning

Lösningsgång

Om vi är intresserade av att teckna uttryck för nedböjningen längs hela balken behöver vi teckna två funktioner \(w_1(x)\) och \(w_2(x)\), ett som är giltigt mellan (0-2L) och ett mellan (2L-3L). Jämför detta med snittmetoden, där vi gör flera snitt för att ställa upp uttryck för snittkrafterna.

Nu efterfrågas endast nedböjningen i den fria änden och därför nöjer vi oss med att lösa differentialekvationen bara för den överhängande delen av balken.

Randvillkor är att nedböjningen är noll vid stödet men rotationen \(w^\prime(x=2L)\) är okänd. Men eftersom rotationen på bägge sidor om stödet B måste vara lika((Om det är två olika vinklar betyder det att balken har ett skarpt hörn, som om man viker ett papper - detta inträffar inte för elastiska balkar. Vid en led kan man dock ha två olika vinklar som då verkar som ett gångjärn.)) kan vi beräkna rotationen till vänster om B och sedan använda den som randvillkor för delen BC.

Rotationen vid \(x=2L\) kallar vi här för \(\theta\) och kan beräknas m.h.a. elementarfall genom att snitta balken vid stöd B och låta snittmomentet \(M_{\rm B}\) verka som en yttre last.

Elementarfall ger då att \(\theta = w^\prime(2L) =\) "\(m_2\)" \(=\) "\(M_2 \cdot \frac{L}{3EI}\)" \(= -\frac{M_{\rm B} 2L}{3EI}\). Minustecknet beror på att lasten \(M_{\rm B}\) verkar åt andra hållet än i elementarfallet.

Lösning av differentialekvationen

Snitta balken och inför en ny (lokal) \(x\)-koordinat till höger om stöd B, ställ upp momentjämvikt \(\gives\)

\[ M(x) = P(L-x) \]

Utgå från differentialekvationen baserat på momentet

\[M = -EI w^\bis \qgives w^\bis = -\frac{M}{EI}=\frac{P}{EI}(x-L)\]

Integrera två gånger \(\gives\)

\[ \begin{align} w'(x) &= \frac{P}{EI} \paren{\frac{x^2}{2} - Lx} + C_1\\ w(x) &= \frac{P}{EI} \paren{\frac{x^3}{6} - L\frac{x^2}{2}} + C_1x + C_2 \end{align} \]

Randvillkor

Nedböjning är noll och rotationen är \(\theta\):

\[ \begin{align} w(0) &= 0 \qgives C_2 = 0\\ w^{\prime}(0) &= \theta \qgives C_1 = \theta \\ \end{align} \]

Därmed kan utböjningen skrivas

\[ \begin{align} w(x) &= \frac{P}{EI} \paren{ \frac{x^3}{6} - L\frac{x^2}{2}} + \theta \ x \\ &= \frac{PL^3}{6EI} \paren{ \paren{\frac{x}{L}}^3 - 3\paren{\frac{x}{L}}^2 } - \frac{2 P L^2}{3EI} \ x \end{align} \]

Utböjningen i den fria änden blir då \(\frac{PL^3}{6EI} \paren{1 - 3} - \frac{2P L^2}{3EI}\ L = - \frac{PL^3}{EI}\)

Diskussion

Totala nedböjningen i den fria änden blir därmed nedböjningen för en konsolbalk plus ytterligare ett bidrag, som är rotationen multiplicerad med överhängets längd. Det sista bidraget kan ses som en stel rotation av balken och utböjningen kan beräknas som båglängden under en sådan rotation.

Back to top