Skip to content

D5

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Lösning

Lösningsgång

Utgå ifrån elastiska linjens ekvation och integrera fram utböjningen. Ställ upp fyra randvillkor för att bestämma (de fyra) integrationskonstanterna som uppkommer. Med utböjningsfunktionen \(w(x)\) bestämd kan snittkrafterna bestämas som \(M(x) = -EI\, w^\bis\) och \(T(x) = M(x)'\)

Integration av elastiska linjens ekvation

\[ EIw^{IV} + q = 0 \gives \]
\[ EIw^{IV} = 0 \gives \]
\[ EIw^\tris = C_1 \gives \]
\[ EIw^\bis = C_1\, x + C_2 \gives \]
\[ EIw' = C_1\, \frac{x^2}{2} + C_2\, x + C_3 \gives \]
\[ EIw = C_1\, \frac{x^3}{6} + C_2\, \frac{x^2}{2} + C_3 \,x + C_4\gives \]

Notera att man likaväl kan förkorta bort termen \(EI\) i första ekvationen, här har jag valt att behålla den; det är en smaksak.

Randvillkor

Nedböjningen vid de två stöden är noll: \(w(0) = 0\), \(w(L) = 0\)

Eftersom balken är fritt upplagd vid vänstra stödet är momentet där noll: \(M(0) = 0 \Rightarrow\) \(-EI\, w^\bis(0) = 0 \Rightarrow\) \(w^\bis(0) = 0\)

Rotationen vid högra stödet är föreskriven: \(w'(L) = \theta\).

Notera att momentet inte är noll vid det högra stödet -- det måste vara nollskilt för att orsaka den föreskrivna rotationen \(\theta\).

Instättning av randvillkor

\(w(0) = 0 \gives C_4 = 0\)

\(w^\bis(0) = 0 \gives C_2 = 0\)

\(w(L) = 0 \gives\) \(C_1\, \frac{L^3}{6} + C_3 \,L = 0 \gives C_3 = -\frac{A\,L^2}{6}\)

\(w'(L) = \theta \gives\) \(\frac{1}{EI} \paren{ C_1\, \frac{L^2}{2} + C_3} = \frac{1}{EI} \paren{ C_1\, \frac{L^2}{2} + -\frac{A\,L^2}{6} } = \theta \gives\) \(C_1 = \frac{3EI\,\theta}{L^2} \gives C_3 = -\frac{3EI\,\theta}{L^2} \, \frac{\,L^2}{6} = -\frac{EI\,\theta}{2}\)

Utböjningsfunktionen kan därmed skrivas

\[w(x) = \frac{1}{EI} \paren{\frac{3EI\,\theta}{L^2}\, \frac{x^3}{6} -\frac{EI\,\theta}{2} \,x } = \frac{\theta}{2L^2} \paren{ x^3 -x\,L^2 }\]

Snittkrafter

\[M(x) = -EI\, w^\bis = -EI\, \paren{ \frac{\theta}{2L^2} \paren{ x^3 -x\,L^2 } }^\bis = -\frac{3EI\, \theta}{L^2} x\]
\[T(x) = M(x)' = -\frac{3EI\, \theta}{L^2}\]

Moment vid högra stödet

\[M(L) = -\frac{3EI\, \theta}{L^2} \,L = -\frac{3EI\, \theta}{L}\]

Momentet blir alltså negativt vilket innebär en dragen undersida av balken -- vilket vi förväntar oss.

Reaktionskrafter

Antag att båda reaktionskrafterna är riktade uppåt (i friläggningen av balken), då blir

\[R_\mathrm{A} = T(0) = -\frac{3EI\, \theta}{L^2}\]
\[R_\mathrm{B} = -T(L) = \frac{3EI\, \theta}{L^2}\]

För att se att \(R_\mathrm{A} = T(0)\) och \(R_\mathrm{B} = -T(L)\) frilägger man vänstra respektive högra stödet (var för sig) och ställer upp jämvikt.

Kommentarer

Eftersom rotationen till höger var föreskriven blev momentet där obekant, och vi var tvungna att beräkna det. På liknande sätt var momentet till vänster känt (\(M(0)=0\)) men rotationen istället obekant. Är man intresserad av att veta rotationen kan den beräknas som \(w'(0)\).

Följande gäller alltid

I en given punkt kan man samtidigt enbart ha villkor på ett av (totalt två villkor):

  • Momentet \(M\) eller rotationen \(w'\)
  • Tvärkraften \(T\) eller nedböjningen \(w\)

Exempelvis går det alltså inte att säga att rotationen och momentet är givet i högra stödet.

Liknande villkor gäller för de andra differentialekvationerna.

För stångens differentialekvation

  • Normalkraften \(N\) eller axialförskjutningen \(u\)

och för axelns differentialekvation

  • Snittvridmomentet \(M_x\) eller vridningsvinkeln \(\varphi\)
Back to top