Skip to content

C3

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna

  1. Tyngdpunktens läge \(\bar{z}\) från ovankanten
  2. Delarnas yttröghetsmoment \(I_{yi}\) och \(I_{zi}\) map delarnas lokala koordinatsystem
  3. Tvärsnittets yttröghetsmoment map \(y-\) och \(z-\)axeln, dvs \(I_y\) och \(I_z\)
  4. böjmotstånden \(W_y^{\mathrm{uk}}\)\(W_y^{\mathrm{ök}}\) och \(W_z\)

Lösning

1

Delarna namnges som 1-3, uppifrån och ner.

\[\bar{z} = \frac{ A_1\, \bar{z}_1 + A_2\, \bar{z}_2 + A_3\, \bar{z}_3 }{ A_1+A_2+A_3 } \]

där \(\bar{z}_1\) är z-avståndet från överkant till tyngdpunkten för fösta delen, och motsvarande för \(\bar{z}_2\) och \(\bar{z}_3\), Tyngdpunkten (ytcentrum) kan därmed skrivas

\[\bar{z} = \frac{ 2B\, t \, \frac{t}{2} + t \, B \paren{ t + \frac{B}{2} } + B \, t \paren{t + B +\frac{t}{2}} }{ 2B\, t + t \, B + B\, t}\]

Förkorta bort \(B\, t \gives\)

\[\bar{z} = \frac{ t + t +\frac{B}{2} + t + B +\frac{t}{2} }{4} = \frac{3B+7t}{8}\]

2

För ett rektangulärt tvärsnitt tillämpar vi formeln \(I = \dfrac{\text{bredd}\times  \text{höjd}^3}{12}\)

Del 1

\[I_{y1} = \frac{2B\,t^3}{12} = \frac{B\, t^3}{6}\]
\[I_{z1} = \frac{t \,(2B)^3}{12} = \frac{2B^3\, t}{3}\]

Del 2

\[I_{y2} = \frac{t \, B^3}{12}\]
\[I_{z2} = \frac{B\, t^3}{12}\]

Del 3

\[I_{y3} = \frac{B \, t^3}{12}\]
\[I_{z3} = \frac{t \,B^3}{12}\]

3

För ett sammansatt tvärsnitt fås yttröghetsmomentet med Steiners sats

\[I_y = \paren{I_{y1} + A_1 \, a_{z1}^2} + \paren{I_{y2} + A_2 \, a_{z2}^2 } +  \paren{I_{y3} + A_3 \, a_{z3}^2}\]

med avstånden från delarnas tyngdpunkt till tvärsnittets tyngdpunkt:

\[ a_{z1} = \bar{z} - \frac{t}{2} \qquad a_{z2} = \bar{z} - \frac{B}{2} -t \qquad a_{z3} = t+B+\frac{t}{2}-\bar{z} \]

vilket ger

\[\begin{align} I_y &= \frac{B\, t^3}{6} +  2B\,t \, \paren{ \bar{z} - \frac{t}{2} }^2 + \frac{t \, B^3}{12} + t \, B \, \paren{ \bar{z} - \frac{B}{2} -t }^2 \nonumber\newline &+ \frac{B \, t^3}{12} + B\,t \, \paren{ t+B+\frac{t}{2}-\bar{z} }^2 \newline &= \ldots = \frac{37 B^3\, t + 66B^2 \, t^2 + 15 B\,t^3}{48} \end{align}\]

Om man antar tunnväggighet, d.v.s. \(t<<B\) kan man eventuellt försumma den andra och tredje termen, som innehåller \(t^2\) och \(t^3\), då dessa kommer bli små jämfört med den första och får då

\[I_y \approx \frac{37}{48}B^3 \,t \]
\[I_z = \paren{I_{z1} + A_1 \, a_{y1}^2} + \paren{I_{z2} + A_2 \, a_{y2}^2 } +  \paren{I_{z3} + A_3 \, a_{y3}^2}\]

Eftersom tvärsnittet är symmetriskt kring \(z\)-axeln blir samtliga \(a_y\)-avstånd noll

\[ a_{y1} = a_{y2} = a_{y3} = 0 \]

vilket ger

\[I_z = \frac{2B^3\, t}{3} + \frac{B\, t^3}{12} + \frac{t \,B^3}{12} = \frac{3t \,B^3}{4} + \frac{B\, t^3}{12} \]

Om man antar tunnväggighet, d.v.s. \(t<<B\) kan man försumma det sista bidraget, som innehåller \(t^3\), då det kommer bli litet jämfört med det första och får

\[I_z \approx \frac{3t \,B^3}{4} \]

Varning

Antag inte tunnväggighet när du räknar ut tvärsnittstorheter. Vid problemlösning leder det (oftast) bara till bekymmer när man som student ska kontrollera sitt svar mot facit, eftersom det inte alltid framgår tydligt om man antagit tunnväggighet och vilka termer som försummats.

Anledningen till att man antar tunnväggighet är att det ger lite "snyggare" uttryck vid handberäkning och man kan ta några genvägar här och där (ej gjort ovan men skulle vara att skippa alla termer inom parenteser som innehåller \(t\)-termer). Men det tar inte lång tid att skriva in det fulla uttrycket på en dator/mobil/miniräknare, därför är det inte värt besväret (i min mening).

4

\[W_y^{\mathrm{uk}} = \frac{I_y}{z^{\mathrm{uk}}} = \frac{I_y}{ t + B + t - \bar{z} }\]
\[W_y^{\mathrm{ök}}= \frac{I_y}{z^{\mathrm{ök}}} = \frac{I_y}{\bar{z}}\]
\[W_z= \frac{I_z}{y_\max} = \frac{I_z}{B/2}= \frac{3t \,B^2}{2} + \frac{t^3}{6}\]
Back to top