C23
$$
\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1}
\newcommand{\eye}{\mathbf I}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\S}{\b{S}}
\newcommand{\s}{\b{s}}
\newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}}
\newcommand{\normal}{\b{n}}
\newcommand{\medel}{\rm{mean}}
\newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad}
\newcommand{\qgives}{\qquad \gives}
\newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,}
\newcommand{\rot}{\varphi}
\newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad}
\newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}}
\newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}}
\newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}}
\newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}}
\newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}}
\newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}}
\newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}}
\newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}}
\newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}}
\newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}}
\newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}}
\newcommand{\mean}[1]{\bar #1}
\newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad}
\newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad}
\newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad}
\newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad}
\newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad}
\newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad}
\newcommand{\Dx}{\Delta x}
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
\newcommand{\Dz}{\Delta z}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d} x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d} y}
\newcommand{\dz}{\mathrm{d} z}
\newcommand{\term}{\mathrm{th}}
\newcommand{\Mv}{T}
\newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}}
\newcommand{\shear}{\gamma}
\renewcommand{\*}{\cdot}
\renewcommand{\cd}{\cdot}
\newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}}
\renewcommand{\bis}{{\prime \prime}}
\renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}}
\newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}}
\newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\yield}{\rm{s}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\dr}{\rm{d} r}
\newcommand{\Dr}{\Delta r}
\newcommand{\Drot}{\Delta \rot}
\newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}}
\newcommand{\q}{q}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}}
\newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}}
\newcommand{\tot}{\rm{tot}}
\newcommand{\parts}{\rm{parts}}
\newcommand{\nparts}{\# \parts}
\newcommand{\flange}{\text{fläns}}
\newcommand{\web}{\text{liv}}
\newcommand{\crit}{\rm{cr}}
\newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}}
\newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi}
\newcommand{\x}{\b{x}}
\newcommand{\K}{\b{K}}
\newcommand{\Ke}{\K^e}
\newcommand{\f}{\b{f}}
\newcommand{\fe}{\f^e}
\newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}}
\newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}}
\newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}}
\newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}}
\newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}}
\newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}}
\newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}}
\newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e}
\newcommand{\N}{\b{N}}
\newcommand{\B}{\b{B}}
\newcommand{\Ne}{\b{N}^e}
\newcommand{\Be}{\b{B}^e}
\newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\J}{\b{J}}
\newcommand{\bxi}{\b{\xi}}
\newcommand{\hp}{\hphantom{-}}
\newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}}
\newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}}
\newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}}
\newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}}
\newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}}
\newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1}
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL }
\newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA }
\newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV }
\newcommand{\Ndofs}{n}
\newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}}
\newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}}
\newcommand{\avec}{\b{a}}
\renewcommand{\a}{\b{a}}
\newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\renewcommand{\r}{\mathbf{r}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\origin}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}}
\renewcommand{\deg}{^\circ}
\newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}}
\nonumber$$
Beskrivning
Beräkna maximal drag-, tryckspänning och skjuvspänning som uppstår i balken. Tvärsnittet är ett dubbelsymmetriskt I-tvärsnitt.
Given data:
\(t_{\rm f} = 12 \mm\) \(b_{\rm f} = 200 \mm\) \(t_{\rm l} = 8 \mm\) \(h_{\rm l} = 300 \mm\) \(P = 200 \kN\) \(L = 4 \meter\)
Facit
\(\sig_{\max} = 240 \MPa\) (drag i underkant balk)\(\sig_{\min} = - 240 \MPa\) (tryck i överkant balk)\(\tau_\max \pm 43 \MPa\)
Lösning
Lösningsgång
Vart uppstår maximal normalspänning?
Utifrån Naviers formel för normalspänningar (utan normalkraft) \(\sigma = \frac{M_y}{I_y}z\) finner vi (till beloppet) maximal spänning där momentet är som störst och för störst z-avstånd från ytcentrum:
\[
\sig = \frac{M_y}{I_y}z \qgives \sig_{\max} \text{ vid maximalt $M_y$ och $z$}
\]
Vart uppstår maximal skjuvspänning?
Utifrån Jourawskis formel för skjuvspänningar \(\tau = \frac{S_y T_z}{I_y b}\) finner vi maximal spänning där tvärkraften är som störst och där det statiska ytmomentet är som störst
Notera
Principiellt ska även bredden minimeras men den spelar i praktiken sällan en avgörande roll för positionen av maximal skjuvspänning.
\[
\tau = \frac{S_y T_z}{I_y b} \qgives \tau_{\max} \text{ vid maximalt $T_z$ och $S_y$}
\]
Maximalt böjande moment
För en fritt upplagd balk med en punktlast i mitten får vi ett styckvis linjärt momentdiagram där maximalt moment (till beloppet) fås under lasten -- vi beräknar momentet här:
\[
M_{y \max} = M \paren{ x = \frac{L}{2} } = \frac{PL}{4} =
\frac{200 \cdot 10^3 \cdot 4}{4} = 200 \kNm
\]
Maximal tvärkraft
Tvärkraften är ett gradtal lägre än momentfunktionen och blir därmed styckvis konstant med värdet \(-P/2\) till vänster om punktlasten och \(P/2\) till höger om punktlasten (använd snittmetoden för att ta fram \(T(x)\) vid osäkerhet på utseendet):
\[
T_{z \max} = \pm \frac{P}{2} = \pm \frac{200 \cdot 10^3}{2} = \pm 100 \kN
\]
Notera
Eftersom tvärkraften är styckvis konstant, blir också maximal skjuvspänning styckvis konstant.
Yttröghetsmoment
För att kunna beräkna spänningarna behövs yttröghetsmomentet för tvärsnittet:
\[
\begin{align}
I_y &= \sum_{i=1}^{3} \frac{bh^3}{12} + a_{zi} \cdot A_i
= \paren{ \frac{t_\web h_\web^3}{12} + 0^2 \cdot t_\web h_\web } \\
&+ 2 \paren{ \frac{b_\flange t_\flange^3}{12} +
\paren{ \frac{h_\web+t_\web}{2} }^2 b_\flange t_\flange } \\
&= \frac{8 \cdot 300^3}{12} + 2 \paren{ \frac{200 \cdot 12^3}{12} +
\paren{ \frac{300 + 12}{2} }^2 \cdot 200 \cdot 12 }
= 1.349 \cdot 10^{-4} \ \rm{m}^4
\end{align}
\]
Spänningsberäkningar
Vi har nu det som behövs för att bestämma de sökta spänningarna
Normalspänningar
Störst normalspänning fås i över och underkant av flänsen:
\[
z_{\max} = \pm \paren{\frac{300}{2} + 12} = \pm 162 \mm
\]
\[
\begin{align}
\sig_{\max} &=
\frac{M_{\max}}{I_y}z_{\max} = \frac{200 \cdot 10^3}{1.349 \cdot 10^{-4}} \cdot 162\cdot 10^{-3}
= 240 \MPa \\
\sig_{\min} &= \frac{M_{\max}}{I_y}z_{\min} =
\frac{200 \cdot 10^3}{1.349 \cdot ^{-4}} \cdot -162\cdot 10^{-3} = - 240 \MPa
\end{align}
\]
Vi har alltså drag i underkanten av balken och tryck i överkanten av balken.
Skjuvspänningar
För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi \(S_{y \max}=S_y(z=0)\) . Trots detta beräknar vi maximal skjuvspänning i flänsen också -- främst som övning.
För spänning i livet, beräknas här det statiska ytmomentet för arean ovanför ett snitt vid ytcentrum \(z=0 \gives\)
\[
\begin{align}
S_y(0) &= A_\flange a_{z1} + A_\web a_{z2} \\
&= \paren{t_\flange \cdot b_\flange} \frac{h_\web+t_\flange}{2} +
\paren{\frac{h_\web}{2} \cdot t_\web } \frac{h_\web}{4} \\
&= \paren{12 \cdot 200} \frac{300+12}{2} + \paren{\frac{300}{2}\cdot 8}
\frac{300}{4} \approx 4.64 \cdot 10^{-6} \meter^3
\end{align}
\]
Maximal skjuvspänning i livet fås som
\[
\tau_{xz}^\max = \frac{S_{y\max} T_{z \max}}{I_y t_\web} =
\frac{4.64 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot 10^3}{ 1.349 \cdot 10^{-4} \cdot 8\cdot 10^{-3}} = \pm 43 \MPa
\]
Maximal skjuvspänning i flänsen ges av
\[
\tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange}^\max T_{z \max}}{I_y t_\flange}
\]
där det maximala statiska ytmomentet i flänsen fås vid ett snitt parallellt med z-axeln. Vi beräknar detta för delarean till höger (går lika bra att räkna till vänster) om snittet, där avståndet \(a_{z \flange}\) fås som
\[
a_{z \flange} = \frac{h_\web+t_\web}{2} = \frac{300+12}{2}=156 \mm \gives
\]
Så att det statiska ytmomentet blir
\[
S_{y\flange} = \frac{A_\flange}{2} \cdot a_{z\flange} =
\frac{200}{2}\cdot12 \cdot 156\approx 1.87\cdot 10^{-4} \meter^3
\]
Notera
Oavsett om det är skjuvspänning i livet eller flänsen, är det avståndet i z-led som ska användas - detta hänger ihop med att tvärkraften verkar i z-led.
Skjuvspänningen i flänsen kan därför beräknas som:
\[
\tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange} T_{z \max}}{I_y t_\flange} =
\frac{1.87 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot 10^3}{ 1.349 \cdot 10^{-4} \cdot 12\cdot 10^{-3}} = \pm 11.6 \MPa
\]
