Skip to content

C23

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna maximal drag-, tryckspänning och skjuvspänning som uppstår i balken. Tvärsnittet är ett dubbelsymmetriskt I-tvärsnitt.

Given data:

  • \(t_{\rm f} = 12 \mm\)
  • \(b_{\rm f} = 200 \mm\)
  • \(t_{\rm l} = 8 \mm\)
  • \(h_{\rm l} = 300 \mm\)
  • \(P = 200 \kN\)
  • \(L = 4 \meter\)

Facit

  • \(\sig_{\max} = 240 \MPa\) (drag i underkant balk)
  • \(\sig_{\min} = - 240 \MPa\) (tryck i överkant balk)
  • \(\tau_\max \pm 43 \MPa\)

Lösning

Lösningsgång

Vart uppstår maximal normalspänning?

Utifrån Naviers formel för normalspänningar (utan normalkraft) \(\sigma = \frac{M_y}{I_y}z\) finner vi (till beloppet) maximal spänning där momentet är som störst och för störst z-avstånd från ytcentrum:

\[ \sig = \frac{M_y}{I_y}z \qgives \sig_{\max} \text{ vid maximalt $M_y$ och $z$} \]

Vart uppstår maximal skjuvspänning?

Utifrån Jourawskis formel för skjuvspänningar \(\tau = \frac{S_y T_z}{I_y b}\) finner vi maximal spänning där tvärkraften är som störst och där det statiska ytmomentet är som störst

Notera

Principiellt ska även bredden minimeras men den spelar i praktiken sällan en avgörande roll för positionen av maximal skjuvspänning.

\[ \tau = \frac{S_y T_z}{I_y b} \qgives \tau_{\max} \text{ vid maximalt $T_z$ och $S_y$} \]

Maximalt böjande moment

För en fritt upplagd balk med en punktlast i mitten får vi ett styckvis linjärt momentdiagram där maximalt moment (till beloppet) fås under lasten -- vi beräknar momentet här:

\[ M_{y \max} = M \paren{ x = \frac{L}{2} } = \frac{PL}{4} = \frac{200 \cdot 10^3 \cdot 4}{4} = 200 \kNm \]

Maximal tvärkraft

Tvärkraften är ett gradtal lägre än momentfunktionen och blir därmed styckvis konstant med värdet \(-P/2\) till vänster om punktlasten och \(P/2\) till höger om punktlasten (använd snittmetoden för att ta fram \(T(x)\) vid osäkerhet på utseendet):

\[ T_{z \max} = \pm \frac{P}{2} = \pm \frac{200 \cdot 10^3}{2} = \pm 100 \kN \]

Notera

Eftersom tvärkraften är styckvis konstant, blir också maximal skjuvspänning styckvis konstant.

Yttröghetsmoment

För att kunna beräkna spänningarna behövs yttröghetsmomentet för tvärsnittet:

\[ \begin{align} I_y &= \sum_{i=1}^{3} \frac{bh^3}{12} + a_{zi} \cdot A_i = \paren{ \frac{t_\web h_\web^3}{12} + 0^2 \cdot t_\web h_\web } \\ &+ 2 \paren{ \frac{b_\flange t_\flange^3}{12} + \paren{ \frac{h_\web+t_\web}{2} }^2 b_\flange t_\flange } \\ &= \frac{8 \cdot 300^3}{12} + 2 \paren{ \frac{200 \cdot 12^3}{12} + \paren{ \frac{300 + 12}{2} }^2 \cdot 200 \cdot 12 } = 1.349 \cdot 10^{-4} \ \rm{m}^4 \end{align} \]

Spänningsberäkningar

Vi har nu det som behövs för att bestämma de sökta spänningarna

Normalspänningar

Störst normalspänning fås i över och underkant av flänsen:

\[ z_{\max} = \pm \paren{\frac{300}{2} + 12} = \pm 162 \mm \]
\[ \begin{align} \sig_{\max} &= \frac{M_{\max}}{I_y}z_{\max} = \frac{200 \cdot 10^3}{1.349 \cdot 10^{-4}} \cdot 162\cdot 10^{-3} = 240 \MPa \\ \sig_{\min} &= \frac{M_{\max}}{I_y}z_{\min} = \frac{200 \cdot 10^3}{1.349 \cdot ^{-4}} \cdot -162\cdot 10^{-3} = - 240 \MPa \end{align} \]

Vi har alltså drag i underkanten av balken och tryck i överkanten av balken.

Skjuvspänningar

För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi \(S_{y \max}=S_y(z=0)\). Trots detta beräknar vi maximal skjuvspänning i flänsen också -- främst som övning.

För spänning i livet, beräknas här det statiska ytmomentet för arean ovanför ett snitt vid ytcentrum \(z=0 \gives\)

\[ \begin{align} S_y(0) &= A_\flange a_{z1} + A_\web a_{z2} \\ &= \paren{t_\flange \cdot b_\flange} \frac{h_\web+t_\flange}{2} + \paren{\frac{h_\web}{2} \cdot t_\web } \frac{h_\web}{4} \\ &= \paren{12 \cdot 200} \frac{300+12}{2} + \paren{\frac{300}{2}\cdot 8} \frac{300}{4} \approx 4.64 \cdot 10^{-6} \meter^3 \end{align} \]

Maximal skjuvspänning i livet fås som

\[ \tau_{xz}^\max = \frac{S_{y\max} T_{z \max}}{I_y t_\web} = \frac{4.64 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot 10^3}{ 1.349 \cdot 10^{-4} \cdot 8\cdot 10^{-3}} = \pm 43 \MPa \]

Maximal skjuvspänning i flänsen ges av

\[ \tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange}^\max T_{z \max}}{I_y t_\flange} \]

där det maximala statiska ytmomentet i flänsen fås vid ett snitt parallellt med z-axeln. Vi beräknar detta för delarean till höger (går lika bra att räkna till vänster) om snittet, där avståndet \(a_{z \flange}\) fås som

\[ a_{z \flange} = \frac{h_\web+t_\web}{2} = \frac{300+12}{2}=156 \mm \gives \]

Så att det statiska ytmomentet blir

\[ S_{y\flange} = \frac{A_\flange}{2} \cdot a_{z\flange} = \frac{200}{2}\cdot12 \cdot 156\approx 1.87\cdot 10^{-4} \meter^3 \]

Notera

Oavsett om det är skjuvspänning i livet eller flänsen, är det avståndet i z-led som ska användas - detta hänger ihop med att tvärkraften verkar i z-led.

Skjuvspänningen i flänsen kan därför beräknas som:

\[ \tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange} T_{z \max}}{I_y t_\flange} = \frac{1.87 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot 10^3}{ 1.349 \cdot 10^{-4} \cdot 12\cdot 10^{-3}} = \pm 11.6 \MPa \]
Back to top