Skip to content

C15

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna skjuvspänningarna i punkterna P₁-P₅ och bestäm vart maximal skjuvspänning uppstår.

Given data:

  • \(t_1 = 20 \mm\)
  • \(t_2 = 10 \mm\)
  • \(B = 150 \mm\)
  • \(T_z = 500 \kN\)

Facit

Skjuvspänningar: \(\tau_{xz} = \dfrac{S_y \, T}{I_y \, t_2}\)

  • \(\tau_{xz}^1= 95.40 \MPa\)
  • \(\tau_{xz}^2 = 110.62 \MPa\)
  • \(\tau_{xz}^3 = 112.52 \MPa\)
  • \(\tau_{xz}^4 = 110.62 \MPa\)
  • \(\tau_{xz}^5 = 95.40 \MPa\)

Lösning

Lösningsgång

Skjuvspänningarna i punkterna \(P_1-P_5\) (som alla ligger i livet) kan beräknas med Jourawskis formel

\[\tau_{xz} = \frac{S_y T_z}{I_y b}\]

där det endast är \(S_y\) som varierar mellan de olika punkterna.

Yttröghetsmoment

Uttrycket för yttröghetsmomentet blir

\[ \begin{align} I_y &= \frac{4B t_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 \nonumber \newline &= \frac{4 \cdot 150 \cdot 20^3}{3} + 9\cdot 150^3 \cdot 20 + \frac{9 \cdot 10 \cdot 150^3}{4} + 6\cdot 150^2\cdot 20^2 \nonumber \newline &\approx 7.39\cdot 10^{-4} \meter^4 \end{align} \]

Statiskt ytmoment

Vi beräknar här det statiska ytmomentet som "Area gånger hävarm", där:

"Arean" är delarean över snittet (eller under) "Hävarmen" är avståndet mellan tvärsnittets ytcentrum till delareans ytcentrum

Punkt 1

\[ a_{z1} = \frac{3B+t_1}{2} \]
\[ S_{y1} = (t_1\cdot 2B)\cdot a_{z1} = (20\cdot 2\cdot 150) \cdot \frac{450+20}{2} \approx 1.41 \cdot^{-3} \meter^3 \]

Punkt 2

\[ a_{z2} = \frac{B}{2}+\frac{B}{2} \]
\[ S_{y2} = S_{y1} + (t_2\cdot B)\cdot a_{z2} = 1.41 \cdot 10^{-3} + (10+150) \cdot 150 \approx 1.64\cdot 10^{-3} \meter^3 \]

Punkt 3

\[ a_{z3} = \frac{B}{2} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ \begin{align} S_{y3} &= S_{y2} + (t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot a_{z3} \newline &= 1.64 \cdot 10^{-3} + 10\cdot \frac{150}{2} \cdot \frac{150}{4} \approx 1.66 \cdot 10^{-3} \meter^3 \end{align} \]

Notera

Vi beräknar här \(S_{y3}\) som summan av tre bidrag, det går lika bra att betrakta de två delarna i livet som en del. Anledningen till den gjorda uppdelning blir tydlig i Punkt 4.

Punkt 4

\[ a_{z4} = -\frac{B}{2}\cdot \frac{1}{2} = -a_{z3} \]

$$ S_{y4} = S_{y3} +(t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot (-a_{z3}) = S_{y2} = 1.64 \cdot 10^{-3} \meter^3 $$ Vi ser därför att bidraget under ytcentrum tar ut motsvarande del ovanför ytcentrum.

Punkt 5

\[ a_{z5} = -\frac{B}{2}-\frac{B}{2} = -a_{z2} \]

$$ S_{y5} = S_{y4} +(t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot (-a_{z2}) = S_{y1} = 1.41 \cdot 10^{-3} \meter^3 $$ På samma sätt som för Punkt 4 har vi här en kompenserande effekt och alla liv-bidragen tar ut varandra, kvar får vi bara flänsen.

Skjuvspänningar

För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi \(S_{y \max}=S_y(z=0)\)

Med de beräknade ytmomenten kan nu skjuvspänningarna beräknas:

\[ \tau_{xz} = \frac{S_{y} \cdot T_z}{I_y b} \]

där \(b = t_2 = 10 \mm\), vi får:

\[ \tau_{xz}^1 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot 500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 95 \MPa \]
\[ \tau_{xz}^2 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 111 \MPa \]
\[ \tau_{xz}^3 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 112 \MPa \]
\[ \tau_{xz}^4 = \tau_{xz}^2 = 111 \MPa \]
\[ \tau_{xz}^5 = \tau_{xz}^1 =95 \MPa \]

Notera

Maximal skjuvspänning för livet fås i ytcentrum.

Back to top