C15
$$
\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1}
\newcommand{\eye}{\mathbf I}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\S}{\b{S}}
\newcommand{\s}{\b{s}}
\newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}}
\newcommand{\normal}{\b{n}}
\newcommand{\medel}{\rm{mean}}
\newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad}
\newcommand{\qgives}{\qquad \gives}
\newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,}
\newcommand{\rot}{\varphi}
\newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad}
\newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}}
\newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}}
\newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}}
\newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}}
\newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}}
\newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}}
\newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}}
\newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}}
\newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}}
\newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}}
\newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}}
\newcommand{\mean}[1]{\bar #1}
\newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad}
\newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad}
\newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad}
\newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad}
\newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad}
\newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad}
\newcommand{\Dx}{\Delta x}
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
\newcommand{\Dz}{\Delta z}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d} x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d} y}
\newcommand{\dz}{\mathrm{d} z}
\newcommand{\term}{\mathrm{th}}
\newcommand{\Mv}{T}
\newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}}
\newcommand{\shear}{\gamma}
\renewcommand{\*}{\cdot}
\renewcommand{\cd}{\cdot}
\newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}}
\renewcommand{\bis}{{\prime \prime}}
\renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}}
\newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}}
\newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\yield}{\rm{s}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\dr}{\rm{d} r}
\newcommand{\Dr}{\Delta r}
\newcommand{\Drot}{\Delta \rot}
\newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}}
\newcommand{\q}{q}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}}
\newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}}
\newcommand{\tot}{\rm{tot}}
\newcommand{\parts}{\rm{parts}}
\newcommand{\nparts}{\# \parts}
\newcommand{\flange}{\text{fläns}}
\newcommand{\web}{\text{liv}}
\newcommand{\crit}{\rm{cr}}
\newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}}
\newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi}
\newcommand{\x}{\b{x}}
\newcommand{\K}{\b{K}}
\newcommand{\Ke}{\K^e}
\newcommand{\f}{\b{f}}
\newcommand{\fe}{\f^e}
\newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}}
\newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}}
\newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}}
\newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}}
\newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}}
\newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}}
\newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}}
\newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e}
\newcommand{\N}{\b{N}}
\newcommand{\B}{\b{B}}
\newcommand{\Ne}{\b{N}^e}
\newcommand{\Be}{\b{B}^e}
\newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\J}{\b{J}}
\newcommand{\bxi}{\b{\xi}}
\newcommand{\hp}{\hphantom{-}}
\newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}}
\newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}}
\newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}}
\newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}}
\newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}}
\newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1}
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL }
\newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA }
\newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV }
\newcommand{\Ndofs}{n}
\newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}}
\newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}}
\newcommand{\avec}{\b{a}}
\renewcommand{\a}{\b{a}}
\newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\renewcommand{\r}{\mathbf{r}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\origin}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}}
\renewcommand{\deg}{^\circ}
\newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}}
\nonumber$$
Beskrivning
Beräkna skjuvspänningarna i punkterna P₁-P₅ och bestäm vart maximal skjuvspänning uppstår.
Given data:
\(t_1 = 20 \mm\) \(t_2 = 10 \mm\) \(B = 150 \mm\) \(T_z = 500 \kN\)
Facit
Skjuvspänningar: \(\tau_{xz} = \dfrac{S_y \, T}{I_y \, t_2}\)
\(\tau_{xz}^1= 95.40 \MPa\) \(\tau_{xz}^2 = 110.62 \MPa\) \(\tau_{xz}^3 = 112.52 \MPa\) \(\tau_{xz}^4 = 110.62 \MPa\) \(\tau_{xz}^5 = 95.40 \MPa\)
Lösning
Lösningsgång
Skjuvspänningarna i punkterna \(P_1-P_5\) (som alla ligger i livet) kan beräknas med Jourawskis formel
\[\tau_{xz} = \frac{S_y T_z}{I_y b}\]
där det endast är \(S_y\) som varierar mellan de olika punkterna.
Yttröghetsmoment
Uttrycket för yttröghetsmomentet blir
\[
\begin{align}
I_y &= \frac{4B t_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 \nonumber \newline
&= \frac{4 \cdot 150 \cdot 20^3}{3} + 9\cdot 150^3 \cdot 20 + \frac{9 \cdot 10 \cdot 150^3}{4} + 6\cdot 150^2\cdot 20^2 \nonumber \newline &\approx 7.39\cdot 10^{-4} \meter^4
\end{align}
\]
Statiskt ytmoment
Vi beräknar här det statiska ytmomentet som "Area gånger hävarm", där:
"Arean" är delarean över snittet (eller under)
"Hävarmen" är avståndet mellan tvärsnittets ytcentrum till delareans ytcentrum
Punkt 1
\[
a_{z1} = \frac{3B+t_1}{2}
\]
\[
S_{y1} = (t_1\cdot 2B)\cdot a_{z1} = (20\cdot 2\cdot 150) \cdot \frac{450+20}{2} \approx 1.41 \cdot^{-3} \meter^3
\]
Punkt 2
\[
a_{z2} = \frac{B}{2}+\frac{B}{2}
\]
\[
S_{y2} = S_{y1} + (t_2\cdot B)\cdot a_{z2} = 1.41 \cdot 10^{-3} + (10+150) \cdot 150 \approx 1.64\cdot 10^{-3} \meter^3
\]
Punkt 3
\[
a_{z3} = \frac{B}{2} \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
\begin{align}
S_{y3} &= S_{y2} + (t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot a_{z3} \newline
&= 1.64 \cdot 10^{-3} + 10\cdot \frac{150}{2} \cdot \frac{150}{4}
\approx 1.66 \cdot 10^{-3} \meter^3
\end{align}
\]
Notera
Vi beräknar här \(S_{y3}\) som summan av tre bidrag, det går lika bra att betrakta de två delarna i livet som en del. Anledningen till den gjorda uppdelning blir tydlig i Punkt 4.
Punkt 4
\[
a_{z4} = -\frac{B}{2}\cdot \frac{1}{2} = -a_{z3}
\]
$$
S_{y4} = S_{y3} +(t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot (-a_{z3}) = S_{y2} = 1.64 \cdot 10^{-3} \meter^3
$$
Vi ser därför att bidraget under ytcentrum tar ut motsvarande del ovanför ytcentrum.
Punkt 5
\[
a_{z5} = -\frac{B}{2}-\frac{B}{2} = -a_{z2}
\]
$$
S_{y5} = S_{y4} +(t_2\cdot \frac{B}{2})\cdot (-a_{z2}) = S_{y1} = 1.41 \cdot 10^{-3} \meter^3
$$
På samma sätt som för Punkt 4 har vi här en kompenserande effekt och alla liv-bidragen tar ut varandra, kvar får vi bara flänsen.
Skjuvspänningar
För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi \(S_{y \max}=S_y(z=0)\)
Med de beräknade ytmomenten kan nu skjuvspänningarna beräknas:
\[
\tau_{xz} = \frac{S_{y} \cdot T_z}{I_y b}
\]
där \(b = t_2 = 10 \mm\) , vi får:
\[
\tau_{xz}^1 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot 500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 95 \MPa
\]
\[
\tau_{xz}^2 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 111 \MPa
\]
\[
\tau_{xz}^3 = \frac{1.41 \cdot 10^{-3} \cdot500\cdot 10^{3}}{7.39\cdot 10^{-4} \cdot 0.010} = 112 \MPa
\]
\[
\tau_{xz}^4 = \tau_{xz}^2 = 111 \MPa
\]
\[
\tau_{xz}^5 = \tau_{xz}^1 =95 \MPa
\]
Notera
Maximal skjuvspänning för livet fås i ytcentrum.
