Skip to content

C1

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna för tvärsnittet:

  1. Ytcentrums läge från underkanten
  2. Delarnas yttröghetsmoment \(I_{yi}\) och \(I_{zi}\) m.a.p. deras lokala koordinatsystem
  3. Tvärsnittets totala yttröghetsmoment \(I_{y}\) och \(I_{z}\) m.a.p. tvärsnittets ytcentrum
  4. Böjmotstånden \(W_{y}\) och \(W_{z}\)

Given data:

  • \(t_{\rm f} = t_1\)
  • \(b_{\rm f} = 2B\)
  • \(t_{\rm l} = t_2\)
  • \(h_{\rm l} = 3B\)

Facit

  1. Ytcentrum ligger på avståndet \(t_1 + \dfrac{3B}{2}\) från underkant och längs symmetrilinjen.
  2. Delarnas yttröghetsmoment
    • \(I_{z1} = I_{z3} = \dfrac{2 t_1 B^3}{3}\)
    • \(I_{z2} = \dfrac{B \ t_2 ^3}{4}\)
  3. Tvärsnittets yttröghetsmoment
    • \(I_y = \dfrac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \dfrac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2\)
    • \(I_z \dfrac{4 t_1 B^3}{3} + \dfrac{B \ t_2 ^3}{4}\)
  4. Böjmotstånd
    • \(W_y = \dfrac{I_y}{\dfrac{3B}{2}+t_1}\)
    • \(W_z = \dfrac{4 t_1 B^2}{3} + \dfrac{ t_2 ^3}{4}\)

Lösning

1 Ytcentrum från underkant

Vi inför ett lokalt koordinatsystem \(\eta-\zeta\) vid underkanten på tvärsnittet. Vi delar också in tvärsnittet i tre delar enligt nedan och ritar in positionen för ytcentrum i z-led (som vi ska bestämma).

Ytcentrum kan nu beräknas enligt

\[\begin{align}z_{\rm{yc}} &= \frac{ \sum_i A_i \cdot a_{\zeta i} }{ \sum_i A_i } = \frac{A_1 a_{\zeta 1} + A_2 a_{\zeta 2} +A_3 a_{\zeta 3}}{A_1 + A_2 + A_3}\end{align}\]

Avstånden \(a_{zi}\) går från vårt lokala koordinatsystem till varje dels lokala läge för ytcentrum enligt figuren ovan. Areor och avstånd kan tecknas:

  • \(A_1 = A_3= t_{\rm f} \cdot b_{\rm f} = 2Bt_1\)
  • \(A_2 = t_{\rm l} \cdot h_{\rm l} = 3Bt_2\)
  • \(a_{\zeta 1} = t_{\rm f}/2 = t_1/2\)
  • \(a_{\zeta 2} = t_{\rm f} + h_{\rm l}/2 = t_1 + 3B/2\)
  • \(a_{\zeta 3} = t_{\rm f} + h_{\rm l} + t_{\rm f}/2 = 3t_1/2 + 3B\)

Sätter vi in dessa värden fås

\[ \begin{align} z_{\rm{yc}} &= \frac{ 2Bt_1 \cdot t_1/2 + 3Bt_2 \cdot (t_1 + 3B/2) + 2Bt_1 \cdot (3t_1/2 + 3B)}{4Bt_1 + 3Bt_2} \newline &=\ldots= t_1 + \frac{3B}{2} \end{align} \]

Ytcentrum ligger därmed i mitten på tvärsnittet som väntat.

2 Yttröghetsmoment för varje del

Vi utgår från \(I=\dfrac{b \ h^3}{12}\) som är yttröghetsmomentet för en rektangel.

För böjning kring y-axeln:

\[ I_{y1} = I_{y3} = \frac{ 2B \ t_1^3 }{12} = \frac{B t_1^3}{6} \]
\[ I_{y2} = \frac{ t_2 \ (3B)^3 }{12} = \frac{9 t_2 B^3}{4} \]

För böjning kring z-axeln:

\[ I_{z1} = I_{z3} = \frac{ t_1 \ (2B)^3 }{12} = \frac{2 t_1 B^3}{3} \]
\[ I_{z2} = \frac{ 3B \ t_2^3 }{12} = \frac{B \ t_2 ^3}{4} \]

3 Yttröghetsmoment för tvärsnittet

Steiners sats ger att yttröghetsmomenten för sammansatta tvärsnitt ges av:

\[ \begin{align} I_y &= \sum_i \paren{ I_{yi} + A_i \cdot a_{zi}^2 } \end{align} \]
\[ \begin{align} I_z &= \sum_i \paren{ I_{zi} + A_i \cdot a_{yi}^2 } \end{align} \]

Där avstånden \(a_{zi}\) och \(a_{yi}\) ska mätas från tvärsnittets ytcentrum till varje delareas ytcentrum.

\(a_{z1} = -\frac{3B+t_1}{2}\), \(a_{z2} = 0\), \(a_{z3} = \frac{3B+t_1}{2}\) \(a_{y1} = a_{y2} = a_{y3} = 0\) Vi får därmed

\[ \begin{align} I_y & = \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{ -\frac{3B+t_1}{2}}^2} + \paren{ \frac{9 t_2 B^3}{4} + A_2 \cdot 0^2} \nonumber \newline &+ \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{\frac{3B+t_1}{2}}^2} = \ldots \\ &= \frac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 \end{align} \]

Notera

Eftersom avstånden kvadreras, spelar det ingen roll vilket tecken de har. Därmed hade vi kunnat förenkla beräkningarna något genom att ta "två gånger ena flänsens bidrag".

\[ \begin{align} I_z & = I_{z1} + A_1 \cdot 0^2 + I_{z2} + A_2 \cdot 0^2 I_{z3} + A_3 \cdot 0^2 \\ &= 2\cdot \frac{2 t_1 B^3}{3} + \frac{B \ t_2 ^3}{4} \end{align} \]

4 Böjmotstånd

Böjmotståndet kring en given axel definieras som "yttröghetsmomentet delat med största avståndet till tvärsnittets kant", i termer av ekvationer:

\[ W_y = \frac{I_y}{\abs{z_{\max}}} \]
\[ W_z = \frac{I_z}{\abs{y_{\max}}} \]

Genom att definiera böjmotstånden på detta vis kan man enkelt beräkna maximal böjspänning som \(\sigma_\max = \frac{M_\max}{W}\). Notera att böjmotståndet finns tabellerat för standardbalkar och behöver därför inte beräknas på nytt.

Definitionen ger:

\[ W_y = \frac{I_y}{\frac{3B}{2}+t_1} \]
\[ W_z = \frac{I_z}{\frac{2B}{2}} = \frac{4 t_1 B^2}{3} + \frac{ t_2 ^3}{4} \]
Back to top