C1
$$
\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1}
\newcommand{\eye}{\mathbf I}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\S}{\b{S}}
\newcommand{\s}{\b{s}}
\newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}}
\newcommand{\normal}{\b{n}}
\newcommand{\medel}{\rm{mean}}
\newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad}
\newcommand{\qgives}{\qquad \gives}
\newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,}
\newcommand{\rot}{\varphi}
\newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad}
\newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}}
\newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}}
\newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}}
\newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}}
\newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}}
\newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}}
\newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}}
\newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}}
\newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}}
\newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}}
\newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}}
\newcommand{\mean}[1]{\bar #1}
\newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad}
\newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad}
\newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad}
\newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad}
\newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad}
\newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad}
\newcommand{\Dx}{\Delta x}
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
\newcommand{\Dz}{\Delta z}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d} x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d} y}
\newcommand{\dz}{\mathrm{d} z}
\newcommand{\term}{\mathrm{th}}
\newcommand{\Mv}{T}
\newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}}
\newcommand{\shear}{\gamma}
\renewcommand{\*}{\cdot}
\renewcommand{\cd}{\cdot}
\newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}}
\renewcommand{\bis}{{\prime \prime}}
\renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}}
\newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}}
\newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\yield}{\rm{s}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\dr}{\rm{d} r}
\newcommand{\Dr}{\Delta r}
\newcommand{\Drot}{\Delta \rot}
\newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}}
\newcommand{\q}{q}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}}
\newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}}
\newcommand{\tot}{\rm{tot}}
\newcommand{\parts}{\rm{parts}}
\newcommand{\nparts}{\# \parts}
\newcommand{\flange}{\text{fläns}}
\newcommand{\web}{\text{liv}}
\newcommand{\crit}{\rm{cr}}
\newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}}
\newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi}
\newcommand{\x}{\b{x}}
\newcommand{\K}{\b{K}}
\newcommand{\Ke}{\K^e}
\newcommand{\f}{\b{f}}
\newcommand{\fe}{\f^e}
\newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}}
\newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}}
\newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}}
\newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}}
\newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}}
\newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}}
\newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}}
\newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e}
\newcommand{\N}{\b{N}}
\newcommand{\B}{\b{B}}
\newcommand{\Ne}{\b{N}^e}
\newcommand{\Be}{\b{B}^e}
\newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\J}{\b{J}}
\newcommand{\bxi}{\b{\xi}}
\newcommand{\hp}{\hphantom{-}}
\newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}}
\newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}}
\newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}}
\newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}}
\newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}}
\newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1}
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL }
\newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA }
\newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV }
\newcommand{\Ndofs}{n}
\newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}}
\newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}}
\newcommand{\avec}{\b{a}}
\renewcommand{\a}{\b{a}}
\newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\renewcommand{\r}{\mathbf{r}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\origin}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}}
\renewcommand{\deg}{^\circ}
\newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}}
\nonumber$$
Beskrivning
Beräkna för tvärsnittet:
Ytcentrums läge från underkanten
Delarnas yttröghetsmoment \(I_{yi}\) och \(I_{zi}\) m.a.p. deras lokala koordinatsystem
Tvärsnittets totala yttröghetsmoment \(I_{y}\) och \(I_{z}\) m.a.p. tvärsnittets ytcentrum
Böjmotstånden \(W_{y}\) och \(W_{z}\)
Given data:
\(t_{\rm f} = t_1\) \(b_{\rm f} = 2B\) \(t_{\rm l} = t_2\) \(h_{\rm l} = 3B\)
Facit
Ytcentrum ligger på avståndet \(t_1 + \dfrac{3B}{2}\) från underkant och längs symmetrilinjen.
Delarnas yttröghetsmoment
\(I_{z1} = I_{z3} = \dfrac{2 t_1 B^3}{3}\) \(I_{z2} = \dfrac{B \ t_2 ^3}{4}\)
Tvärsnittets yttröghetsmoment
\(I_y = \dfrac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \dfrac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2\) \(I_z \dfrac{4 t_1 B^3}{3} + \dfrac{B \ t_2 ^3}{4}\)
Böjmotstånd
\(W_y = \dfrac{I_y}{\dfrac{3B}{2}+t_1}\) \(W_z = \dfrac{4 t_1 B^2}{3} + \dfrac{ t_2 ^3}{4}\)
Lösning
1 Ytcentrum från underkant
Vi inför ett lokalt koordinatsystem \(\eta-\zeta\) vid underkanten på tvärsnittet. Vi delar också in tvärsnittet i tre delar enligt nedan och ritar in positionen för ytcentrum i z-led (som vi ska bestämma).
Ytcentrum kan nu beräknas enligt
\[\begin{align}z_{\rm{yc}} &= \frac{ \sum_i A_i \cdot a_{\zeta i} }{ \sum_i A_i } = \frac{A_1 a_{\zeta 1} + A_2 a_{\zeta 2} +A_3 a_{\zeta 3}}{A_1 + A_2 + A_3}\end{align}\]
Avstånden \(a_{zi}\) går från vårt lokala koordinatsystem till varje dels lokala läge för ytcentrum enligt figuren ovan. Areor och avstånd kan tecknas:
\(A_1 = A_3= t_{\rm f} \cdot b_{\rm f} = 2Bt_1\) \(A_2 = t_{\rm l} \cdot h_{\rm l} = 3Bt_2\) \(a_{\zeta 1} = t_{\rm f}/2 = t_1/2\) \(a_{\zeta 2} = t_{\rm f} + h_{\rm l}/2 = t_1 + 3B/2\) \(a_{\zeta 3} = t_{\rm f} + h_{\rm l} + t_{\rm f}/2 = 3t_1/2 + 3B\)
Sätter vi in dessa värden fås
\[
\begin{align}
z_{\rm{yc}} &= \frac{ 2Bt_1 \cdot t_1/2 + 3Bt_2 \cdot
(t_1 + 3B/2) + 2Bt_1 \cdot (3t_1/2 + 3B)}{4Bt_1 + 3Bt_2} \newline
&=\ldots= t_1 + \frac{3B}{2}
\end{align}
\]
Ytcentrum ligger därmed i mitten på tvärsnittet som väntat.
2 Yttröghetsmoment för varje del
Vi utgår från \(I=\dfrac{b \ h^3}{12}\) som är yttröghetsmomentet för en rektangel.
För böjning kring y-axeln:
\[
I_{y1} = I_{y3} = \frac{ 2B \ t_1^3 }{12} = \frac{B t_1^3}{6}
\]
\[
I_{y2} = \frac{ t_2 \ (3B)^3 }{12} = \frac{9 t_2 B^3}{4}
\]
För böjning kring z-axeln:
\[
I_{z1} = I_{z3} = \frac{ t_1 \ (2B)^3 }{12} = \frac{2 t_1 B^3}{3}
\]
\[
I_{z2} = \frac{ 3B \ t_2^3 }{12} = \frac{B \ t_2 ^3}{4}
\]
3 Yttröghetsmoment för tvärsnittet
Steiners sats ger att yttröghetsmomenten för sammansatta tvärsnitt ges av:
\[
\begin{align}
I_y &= \sum_i \paren{ I_{yi} + A_i \cdot a_{zi}^2 }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
I_z &= \sum_i \paren{ I_{zi} + A_i \cdot a_{yi}^2 }
\end{align}
\]
Där avstånden \(a_{zi}\) och \(a_{yi}\) ska mätas från tvärsnittets ytcentrum till varje delareas ytcentrum.
\(a_{z1} = -\frac{3B+t_1}{2}\) , \(a_{z2} = 0\) , \(a_{z3} = \frac{3B+t_1}{2}\)
\(a_{y1} = a_{y2} = a_{y3} = 0\)
Vi får därmed
\[
\begin{align}
I_y & = \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{ -\frac{3B+t_1}{2}}^2} +
\paren{ \frac{9 t_2 B^3}{4} + A_2 \cdot 0^2} \nonumber \newline
&+ \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{\frac{3B+t_1}{2}}^2} = \ldots \\
&= \frac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2
\end{align}
\]
Notera
Eftersom avstånden kvadreras, spelar det ingen roll vilket tecken de har. Därmed hade vi kunnat förenkla beräkningarna något genom att ta "två gånger ena flänsens bidrag".
\[
\begin{align}
I_z & = I_{z1} + A_1 \cdot 0^2 + I_{z2} + A_2 \cdot 0^2 I_{z3} + A_3 \cdot 0^2 \\
&= 2\cdot \frac{2 t_1 B^3}{3} + \frac{B \ t_2 ^3}{4}
\end{align}
\]
4 Böjmotstånd
Böjmotståndet kring en given axel definieras som "yttröghetsmomentet delat med största avståndet till tvärsnittets kant", i termer av ekvationer:
\[
W_y = \frac{I_y}{\abs{z_{\max}}}
\]
\[
W_z = \frac{I_z}{\abs{y_{\max}}}
\]
Genom att definiera böjmotstånden på detta vis kan man enkelt beräkna maximal böjspänning som \(\sigma_\max = \frac{M_\max}{W}\) . Notera att böjmotståndet finns tabellerat för standardbalkar och behöver därför inte beräknas på nytt.
Definitionen ger:
\[
W_y = \frac{I_y}{\frac{3B}{2}+t_1}
\]
\[
W_z = \frac{I_z}{\frac{2B}{2}} = \frac{4 t_1 B^2}{3} + \frac{ t_2 ^3}{4}
\]
