Skip to content

Fritt upplagd balk med triangellast

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Beskrivning

Beräkna maximalt snittmoment som uppstår i balken orsakad av den utbredda lasten och som har en maximal lastintensitet på \(q_{\max} = 2Q/3L\).

Facit

Maximalt moment fås vid stödet B: \(M_{\rm B} = \frac{8Q L}{27}\)

Lösning

Lösningsgång

Vi börjar med att ta fram reaktionskrafter och använder därefter snittmetoden för att teckna momentet \(M(x)\). Från detta kan vi sedan bestämma maximalt moment.

Lastintensiteten \(q\) är en linjär funktion som antar värdet \(q_{\max}\) vid sträckan \(3L\) och kan därmed tecknas som (multiplicerar maxlasten med en faktor \(x/3L\) som går mellan värdet 0 och 1)

\[ q(x) = q_{\max} \frac{x}{3L} = \frac{2Q}{3L} \frac{x}{3L} = \frac{2Qx}{9L^2} \]

Notera att lasten verkar i negativ z-riktning. Kraftresultanten \(R\) till triangellasten kan exempelvis beräknas som "arean = höjden * basen / 2" vilket ger \(R=Q\).

Reaktionskrafter

Beräkna reaktionskrafterna genom att frilägga hela balken och sedan ställa upp global jämvikt. Vi illustrerar två olika metoder för detta:

Alternativ 1: Användning av kraftresultanter och hävarmar

\[ \begin{align} \eqright& H = 0 \\ \equp& \R{A} + \R{B} - Q = 0\\ \eqccwmom{A}& \R{B} \cdot 2L\, - \underbrace{Q}_{\text{resultant}} \cdot \underbrace{ \frac{2}{3} \cdot 3L } _{\text{hävarm}}= 0 \qgives \R{B} = Q \\ \gives& \R{A} = Q - \R{B} = 0 \end{align} \]

Alternativ 2: Användning av integraler (den mest generella)

\[ \begin{align} \eqright& H = 0 \\ \equp& \R{A} + \R{B} - \int_0^{3L} q(x)\dx = \R{A} + \R{B} - Q = 0\\ \eqccwmom{A}& \R{B} \cdot 2L \, - \int_0^{3L} q(x)\cdot x \dx = \\ & \R{B} \cdot 2L - \int_0^{3L} \frac{2Qx}{9L^2}\cdot x \dx = \R{B} \cdot 2L - \frac{2Q}{9L^2} \cdot \frac{(3L)^3}{3} =\\ &\R{B} \cdot 2L -2QL = 0 \qgives \R{B} = Q\\ \gives& \R{A} = Q - \R{B} = 0 \end{align} \]

Båda metoderna ger naturligtvis samma svar och det är en smakfråga vilken metod man föredrar att använda.

Notera

Eftersom resultanten till lasten verkar precis ovanför stöd B kommer också hela lasten gå ner i det stödet och därför blir den vänstra reaktionskraften noll.

Snittmoment

Snitta där det "händer något", d.v.s. mellan stöd eller där lastintensiteten förändras. I det här fallet räcker två snitt (innan och efter det högra stödet).

Snitt I: \(0 \leq x \leq 2L\)

\[ \eqcwmom{x} M(x) = -\R{A} \cdot x + \underbrace{ q(x)\cdot x \, \frac{1}{2} } _{\text{resultant}} \cdot \underbrace{\frac{x}{3}} _{\text{hävarm}} \\ =\frac{2Qx}{9L^2} \cdot \frac{x^2}{6} = \frac{Qx^3}{27L^2} \]

Snitt II: \(2L \leq x \leq 3L\)

\[ \begin{align} \eqcwmom{x} M(x) &= -\R{A} \cdot x + \underbrace{ q(x)\cdot x \, \frac{1}{2} } _{\text{resultant}} \cdot \underbrace{\frac{x}{3}} _{\text{hävarm}} - \R{B} \cdot \paren{x-2L}\\ &=\frac{Qx^3}{27L^2} - Q \cdot \paren{x-2L} \end{align} \]

Momentdiagram

Genom att rita ut momentfördelningen för varje snitt (i det här fallet två) inses direkt att maximalt moment fås vid stöd B och kan beräknas till \(M_{\rm B} = \frac{8Q L}{27}\).

Back to top