Skip to content

A13

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Lösning

Lösningsgång

För att kunna beräkna spänningen i systemet behövs normalkraftens variation. Dock är problemet statiskt obestämt, eftersom det finns två obekanta stångkrafter men vi kan bara ställa upp en (meningsfull) jämviktsekvation.

För att lösa den här typen av problem behöver vi kombinera jämvikt, materialsamband och deformationssamband.

Jämvikt

Gör ett snitt kring övergången mellan den vänstra och högra delen, ställ därefter upp jämvikt

\[\eqleft N_1 - N_2 = 0 \gives N_1=N_2\]

Materialsamband

Hookes lag med temperaturverkan ger

\[\sigma = E\, \paren{ \epsilon -\alpha \, \Delta T }= E \paren{ \frac{\delta}{L} - \alpha \, \Delta T }\gives\]
\[N = EA\, \paren{ \frac{\delta}{L} - \alpha \, \Delta T }\gives\]

För varje stångdel kan vi därmed skriva

\[N_1 = EA_1\, \paren{ \frac{\delta_1}{L_1} - \alpha \, \Delta T }\]
\[N_2 = EA_2\,\paren{ \frac{\delta_2}{L_2} - \alpha \, \Delta T } \]

Deformationssamband

Slutligen måste vi säga något om hur de två stångdelarnas deformation förhåller sig till varandra.

En utgångsfråga är: om den vänstra stången förlängs \(\delta_1\) vad måste då hända med högra? Ja, vi vet att stångsystemet är fast inspänt på bägge sidor, vilket betyder att totala längden måste vara oförändrad under deformation. För att det ska vara möjligt krävs att den andra stången förkortas lika mycket som den första förlängs. Matematiskt skriver vi detta samband som

\[\delta_2 = -\delta_1\]

Ett snarlikt resonemang är:

Om systemets längd ska vara oförändrad, måste den totala deformationen av systemet vara noll, dvs \(\delta_\tot = \delta_1 + \delta_2 = 0\), vilket ger samma ekvation som ovan.

Kombinera sambanden

Kombinera nu jämviktsambandet, de två materialsambanden och deformationssambandet

\[ EA_1\, \paren{ \frac{\delta_1}{L_1} - \alpha \, \Delta T } = EA_2\,\paren{ \frac{\delta_2}{L_2} - \alpha \, \Delta T }= EA_2\,\paren{ -\frac{\delta_1}{L_2} - \alpha \, \Delta T }\gives\]

Lös ut \(\delta_1\)

\[\delta_1 = \frac{ \alpha \, \Delta T (A_1-A_2)}{ \frac{A_1}{L_1} + \frac{A_2}{L_2} }\]

Förskjutning i B

Deformationen i varje del kan skrivas (förskjutning till höger minus förskjutning till vänster)

\[\delta_1 = p_\mathrm{B} - p_\mathrm{A} = p_\mathrm{B} - 0 = p_\mathrm{B}\]
\[\delta_2 = p_\mathrm{C} - p_\mathrm{B} = 0 - p_\mathrm{B} = - p_\mathrm{B}\]

Vi ser därför att \(p = \delta_1\) eller \(p=-\delta_2\)

Numeriska värden ger att \(p=\ldots \approx 54\mm\) till höger.

Maximal spänning

Jämviktsekvationen gav att normalkraften är konstant längs hela systemet. Därför kommer maximal normalspänning uppstå där tvärsnittsarean är som minst, dvs del 2

\[\sigma_\max = \sigma_2 = \ldots=EA_2\,\paren{ \frac{-p}{L_2} - \alpha \, \Delta T } =\ldots \approx -187\MPa\]

Rimlighetsbedömning

  • Ja, det är inte helt enkelt att uppskatta om de beräknade spänningarna är rimliga men spänningar som uppkommer pga termiska laster brukar bli mycket stora -- detta är den underliggande orsaken till s.k solkurvor på järnvägsräls.
  • Från spänningsberäkningen ovan, blir den högra stångdelen tryckt men även den vänstra. Detta är också väntat eftersom stångsystemet vill bli längre pga temperaturökningen men kan inte eftersom ändarna sitter fast, stängerna blir därmed tryckta.
  • Man kan också studera uttrycket för förlängningen och notera att om $A_1=A_2$ blir det ingen förlängning alls -- vilket man kan förvänta sig.
Back to top