Skip to content

Tvådimensionella stångsystem fackverk

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Vanligtvis kopplas flera stänger samman i två eller tre dimensioner till mer komplexa strukturer kallade fackverk eller stångbärverk. Vanliga exempel på fackverkskonstruktioner är takstolar och broar. Beräkningsmodeller för fackverk idealiseras ofta enligt figuren nedan

Stängerna sammanbinds i momentfria leder kallade knutar vilket medför att krafter endast kan tas upp i stängernas längdriktning d.v.s. \(\alpha=0\) i figuren nedan. Detta är ett modellantagande - en förenkling av verkligheten - men som inte stämmer helt.

Detta inses genom betraktelse av momentjämvikt kring någon av knutarna. Därigenom är det enbart kraftens storlek som är obekant i varje stångelement. Riktningen på kraftvektorn måste sammanfalla med stångens riktning.

Statiskt bestämda fackverk

Det finns 2 klassiska metoder för att analysera statiskt bestämda fackverk: knutmetoden och snittmetoden. Dessa kommer nu att beskrivas kort.

Knutmetoden

Metoden bygger på att varje knut i fackverket friläggs och jämvikt ställs upp för knuten. Två kraftjämviktsekvationer kan ställas upp per knutpunkt (3 stycken i 3D). Momentekvationen ger ingen ytterligare information då alla stångkrafter har sina verkningslinjer genom knuten vilket gör att hävarmen blir noll.

Exempel

Beskrivning

Beräkna stångkrafterna i fackverket nedan m.h.a. knutmetoden.

Lösning

Studera varje knut var för sig och ställ upp kraftjämvikt för de obekanta stångkrafterna i den aktuella knuten. Man kan börja i vilken knut som helt och vi väljer här att börja med den översta knuten i mitten.

Knut 1:

\[ \begin{align} \equp& -\frac{N_2}{\sqrt{2}}-N_3-\frac{N_4}{\sqrt{2}}-P=0 \\ \eqright& -\frac{N_2}{\sqrt{2}}+\frac{N_4}{\sqrt{2}}=0 \end{align} \]

Knut 2:

\[ \eqright -N_5- N_4 \frac{1}{\sqrt{2}}=0 \]

Knut 3:

\[ \begin{align} \equp& N_3 =0 \\ \eqright& -N_1+N_5=0 \end{align} \]

Vi kan konstatera att antalet jämviktsekvationer överensstämmer med antalet obekanta stångkrafter varmed systemet är statiskt bestämt. Följande stångkrafter erhålles:

\(N_1= \frac{P}{2} \qquad N_2= -\frac{P}{\sqrt{2}} \qquad N_3=0 \qquad\) \(N_4=-\frac{P}{\sqrt{2}} \qquad N_5=\frac{P}{2}\)

Vidare kan stödreaktionerna bestämmas ur jämviktsekvationer för de föreskrivna strukturfrihetsgraderna:

Knut 2:

\[\equp \frac{N_4}{\sqrt{2}}+ R_{\rm BV} =0\]

Knut 4:

$$ \begin{align} \equp& \frac{N_2}{\sqrt{2}}+ R_{\rm AV} =0 \ \eqright& N_1+\frac{N_2}{\sqrt{2}}+ R_{\rm AH} =0 \end{align} $$ därmed $$ \R{AV}=\R{BV}=\frac{P}{2} \qquad \R{AH}=0 $$ Dessa stödreaktioner kan också erhållas genom att betrakta global jämvikt (kraft och moment) av hela fackverket.

Beräkningarna kan i många fall förenklas om man i förväg identifierar s.k. nollstänger. Nollstänger är, som namnet antyder, stänger där normalkraften är noll (ex. stång nummer 3 i exemplet. Även symmetrin på strukturen och lasten hade varit lämpligt att ta hänsyn till från början.

Snittmetoden

Den här metoden utnyttjar global jämvikt. Välj ett snitt genom strukturen så vi maximalt erhåller 3 obekanta, vilket är det maximala antalet globala jämviktsekvationer vi kan ställa upp, (i det plana fallet). Dessa tre ekvationer ger då de tre obekanta.

Exempel

Beskrivning

Beräkna normalkrafterna \(N_1, N_2\) och \(N_3\) tillhörande stängerna markerade \(1-3\) i fackverket nedan m.h.a. snittmetoden.

Lösning

Vi betraktar sektionen till höger om snittet i figuren nedan. Global jämvikt för den snittade delen ger de obekanta normalkrafterna \(N_1, N_2\) och \(N_3\).

\[ \begin{align} \eqdown& N_2+ P=0 \qgives N_2 = -P \\ \eqccwmom{N_3}& N_1 \ L +N_2 \ L - P \ 2L =0 \qgives N_1=3P \\ \eqleft& N_3+ N_1=0 \qgives N_3=-N_1=-3P \end{align} \]

Observera att vi lika gärna hade kunnat välja sektionen till vänster om snittet men då hade vi varit tvungna att beräkna stödreaktionerna först.

Metoden är bra att använda då man enbart är intresserad av ett fåtal snittkrafter och inte vill "räkna sig fram" (knut för knut) till rätt stång med knutmetoden. I båda metoderna, (knutmetoden och snittmetoden), är det lätt att göra slarvfel och gör man ett fel blir allt fel. Därför är det extra viktigt att kontrollera en extra gång att jämvikten är uppfylld.

Back to top