Skip to content

Stångens differentialekvation

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Sen tidigare studerade vi ett linjärelastiskt stångelement där inre normalkraften \(N\), tvärsnittsarean \(A\) och elasticitetsmodulen var konstanta (ingen variation med \(x\)) enligt Figuren nedan.

Sedan tidigare känner vi sambandet: $$ E \, A \, \frac{\delta}{L}=E \, A \, \frac{u(L)-u(0)}{L} = N $$

Vi ska nu generalisera begreppet av en stång och härleda den så kallade stångens differentialekvation.

Härledning av stångens differentialekvation

Låt nu stången att ha varierande elasticitetsmodul \(E(x)\), tvärsnittsarea \(A(x)\) samt en volymslast \(K_x(x)\) [N/m\(^3\)] enligt figuren nedan.

Stång med varierande area $A(x)$ och volymslast $K_x(x)$.

\(K_x\) representerar en last som verkar längs stången som exempelvis egenvikt (gravitationskraft), centrifugalkraft eller friktion.

Nu skall vi bestämma ekvationerna som beskriver hur inre normalkraft \(N\) och förskjutning \(u\) varierar längs stången. För att härleda ekvationen använder vi hållfasthetslärans tre ekvationer: jämvikt, konstitutivt samband och deformationssamband.

Notera

Ofta försummas egenvikten eftersom den i många fall är liten i förhållande till de verkande lasterna. Om egenvikten skall tas hänsyn till i övningsuppgifterna är detta vanligtvis indikerat eller att materialets densitet angetts.

Jämvikt

Studera ett infinitesimalt volymselement med längd \(\Delta x\) och belastad av volymslasten \(K_x=q_x\)

Volymselement av en stång med snittkrafter och yttre last markerade.

Jämvikt av stångelementet i längdriktningen ger $$ \eqright N(x + \Dx) -N(x) + \int_{x}^{x+\Delta x} {K}_x \, {A} \, {\rm d} x = 0 $$

När \(\Dx\) är litet kan vi anta att \(K_x\) och \(A\) är konstanta över sträckan \(\Dx\) och får då $$ \eqright N(x + \Dx) -N(x) + K_x \, A \Delta x = 0 $$

Dividera med \(\Dx\) och låt \(\Dx \rightarrow 0\) $$ \lim_{\Dx \rightarrow 0} \frac{ N(x + \Dx) - N(x) }{\Dx} + {K}_x \, {A} = \od{N(x)}{x} + K_x(x) A(x) = 0 $$

Jämvikten sammanfattas därmed av ekvationen $$ N' + K_x \, A = 0 $$

Notera

Normalkraften ritas alltid i riktning bort från den frilagda kroppen (dvs i normalens riktning).

Materialsamband

Antag ett linjärelastiskt materialbeteende så att Hookes lag gäller, \(\sig{}(x) = E(x) \eps(x)\). Normalkraften kan då skrivas $$ N(x) = \sig(x) \ A(x) = E(x) \ A(x) \ \eps(x) $$

Deformationssamband

Definitionen på normaltöjning $$ \eps(x) = \od{ u(x) }{x} = u' $$

Kombinera jämviktsambandet, materialsambandet och deformationssambandet enligt $$ \od{N}{x} + K_x A = \od{}{x} \big( EA \eps \big) + K_x A = \od{}{x} \left( EA \od{u}{x}\right) + K_x A = 0 $$

Vi sammanfattar resultatet som

Stångens differentialekvation

\[ \od{}{x}\left( E \, A \, \od{u}{x}\right) + K_x \, A = 0\]
  • \(u(x)\) - Axiell förskjutning [m]
  • \(E\) - Elasticitetsmodulen [Pa]
  • \(A\) - Tvärsnittsarea [m^2]
  • \(K_x\) - Volymslast [N/m^3]

Detta är en andra ordningens differentialekvation och det behövs två randvillkor för att lösa den. De två vanligaste typerna av randvillkor är:

  • Förskjutningen är given: \(u = \bar{u}\)
  • Normalkraften är given: \(N = \bar{N}\)

Specialfall av stångens differentialekvation

Om \(E\) och \(A\) är konstanta längs stången (vanligt för många konstruktioner) kan differentialekvationen förenklas till $$ -u^{\prime \prime} = \frac{K_x}{E} $$

och förskjutningen kan integreras fram till: $$ u(x)=-\int \int \frac{K_x}{E} \, {\rm d} x+c_1 \, x +c_2 $$

där \(c_1\) och \(c_2\) är integrationskonstanter som bestäms med hjälp av randvillkor. Det enklaste fallet är när \(K_x=0\) (som också är vanligt) vilket ger

\[u(x) = c_1 x + c_2\]

Töjningen, \(\eps = u' = c_1\), blir då konstant och kan bestämmas enligt $$ \eps = \frac{u(L) - u(0)}{L}=\frac{\delta}{L} $$ med deformationen \(\delta\). Detta är ett viktigt resultat och vi sammanfattar:

Normaltöjning

För en stång med konstant \(EA\) och \(K_x=0\) gäller

\[\eps = \frac{u(L) - u(0)}{L}=\frac{\delta}{L}\]

Lösning av stångens differentialekvation

Exempel 1

Beskrivning

Bestäm förskjutningsfältet \(u(x)\) för en fast inspänd stång med konstant \(EA\) belastad med en punktlast \(P\) i den högra änden.

Lösning

Enligt stångens differentialekvation med \(EA\) konstant och \(K_x=0\) fås förskjutningsfältet som \(u(x)=c_1 \, x+c_2\).

Randvillkor bestämmer konstanterna:

Förskjutningen är noll vid infästningen till vänster och jämvikt vid den fria änden ger att normalkraften är lika med \(P\), vi får:

\[ \begin{cases} u(0)=0 \; \Rightarrow \quad c_2=0 \\\ N(L)=P \; \Rightarrow \quad E \, A \, u'(L)=P \quad \\\ \Rightarrow \quad E \, A \,c_1=P \end{cases} \]

så att förskjutningsfältet blir:

\[ u(x)=\frac{P}{E\, A} \, x \]

Exempel 2

Beskrivning

Studera en fast inspänd stång, med konstant elasticitetsmodul \(E\), konstant tvärsnittsarea \(A\), längd \(L\) och densitet \(\rho\). Stången belastas enbart av sin egenvikt.

Beräkna den fria ändens förskjutning och spänningsfördelningen längs med stången. Antag tyngdaccelerationen \(g\).

Lösning

Stångens differentialekvation för konstant \(E \, A\): $$ -(EAu')' = K_x A \qquad \Rightarrow \qquad u'' = -\frac{K_x}{E} $$

I det här fallet har vi en volymslast \(K_x\) vilken beräknas som: $$ K_x = \frac{\overbrace{m g}^{\text{total kraft}} }{V} = \frac{\rho V g}{V} = \rho g $$ där \(m\) är massan av stången och \(V\) är volymen på stången. I varje snitt verkar alltså volymslasten \(\rho g\).

Nu kan vi integrera stångens differentialekvation två gånger: $$ \begin{align} &\gives u^{\prime \prime} = -\frac{\rho g}{E} \\ &\gives u' = -\frac{\rho g}{E} x + c_1 \\ &\gives u = -\frac{\rho g}{E} \frac{x^2}{2} + c_1 x + c_2 \end{align} $$

Integrationskonstanterna bestäms med hjälp av randvillkor:

  • \(u(0)=0 \; \Rightarrow \quad c_2=0\)
  • \(N(L)=0\; \Rightarrow \quad E\, A \, u'(L)=0 \; \Rightarrow \quad E\, A \, \left(-\frac{\rho g}{E} L + c_1 \right)=0\)

därmed fås förskjutningsfältet som: $$ u(x) = -\frac{\rho g}{E} \frac{x^2}{2} + \frac{\rho g L}{E} x = \frac{\rho g}{E}\left( Lx - \frac{x^2}{2} \right) $$

Speciellt blir förskjutningen i den fria änden: $u(L) = \frac{\rho g}{E}(L^2 - L^2/2) = \frac{\rho g L^2}{2E} $ och normalspänningen fås som \(\sig = E \eps = E u' = \rho g (L-x)\).

Kommentarer

  • Töjningen varierar linjärt längs stången
  • Störst spänning fås vid infästningen medan spänningen blir noll vid den fria änden. Detta är på grund av att snittet vid infästningen bär hela stångens vikt medan snittet vid den fria änden bär ingen vikt.
  • Grafer över förskjutningsfält och spänningsfördelning längs stången:

Back to top