Skip to content

Introduktion

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Normalspänning -- jämvikt

En dragprovstav belastas av de yttre lasterna \(P\) enligt figuren nedan. De yttre lasterna är motriktade och lika stora vilket innebär att provstaven är i jämvikt.

Provstav som utsätts för en yttre dragkraft $P$ i bägge ändar.

Om vi nu vill undersöka hur mycket materialet i dragprovstaven ansträngs så gör vi ett tänkt (virtuellt) snitt enligt figuren nedan och studerar vad som händer inuti dragprovstaven.

Provstav som utsätts för en yttre dragkraft $P$ i bägge ändar och snittad genom dess smalare del.

En jämviktsbetraktelse av den vänstra, såväl som högra, figuren visar att den inre normalkraften \(N\) måste vara lika stor som den yttre lasten \(P\), dvs \(N=P\).

Måttet på ansträngning i materialet benämns spänning \(\sigma\) och är definierad som kraft per tvärsnittsarea \(A\). Medelspänningen i tvärsnittet blir

\[\sigma=\frac{N}{A}\]

Vi kallar \(\sigma\) för en normalspänning eftersom den är riktad i tvärsnittets normalriktning. Om snittet görs på ett tillräckligt stort avstånd från ändarna så kan man anta att materialet ansträngs lika mycket i hela tvärsnittet dvs spänningen är konstant \(\sigma=P/A\).

Provstav som utsätts för en yttre dragkraft $P$ i sin vänstra ände och resulterande normalspänning som verkar vid snittet.

Enheten som används för spänning är Pascal [Pa] och är definierad som \(\mathrm{N/m}^2\). Om inre normalkraften \(N>0\) och normalspänningen \(\sigma>0\) så kallas de för dragkraft respektive dragspänning. Däremot om inre normalkraften \(N<0\) och normalspänningen \(\sigma<0\) så kallas de för tryckkraft respektive tryckspänning.

Strukturer eller delar av strukturer där spänningen är konstant i tvärsnittet och riktad i längsled kallar vi för stänger. Man pratar också om stångverkan när ett element bär ett element bär last i enbart drag eller tryck.

Om vi utsätter en provstav för yttre belastning kommer huvuddelen av provstaven att vara utsatt för konstant spänning både i längsled och i tvärsnittet, se figuren nedan (gult område).

Normalspänningsfördelning $\sigma$ i en provstav där rött indikerar högre spänning och blått lägre. I huvuddelen av stången är spänningen konstant.

Normaltöjning-kinematik

Studera en stång med längden \(L\) innan belastning, enligt figuren nedan. Nu belastar vi stången med yttre krafter i längsled så att stångens längd förändras till \(L+\delta\).

Längden på en stång innan och efter belastning.

Vi definierar nu begreppet deformation som längdförändringen \(\delta\). Om \(\delta > 0\) talar man om en förlängning av stången och om \(\delta <0\) talar man om en förkortning.

Begreppet normaltöjning definieras som längdförändring per längdenhet och betecknas som \(\epsilon\). Medeltöjningen för en stång som deformeras sträckan \(\delta\) och som i obelastat tillstånd har längden \(L\) blir:

\[\epsilon=\frac{\delta}{L}\]

Inför koordinaten \(x\) i längsled av stången enligt figuren nedan. Den deformerade stången visas i figuren under den odeformerade.

Förskjutning $u$ av en punkt som befann sig på position $x$ innan deformation och position $x + u$ efter deformation.

Punkten som befann sig på position \(x\) innan deformationen har efter deformationen flyttats till \(x+u\) (även den fria ändens förskjutning har markerats). \(u\) kallas för förskjutning och beror generellt på vilken punkt som studeras dvs \(u=u(x)\). Totala längdförändringen hos stången fås som: \(\delta = u(L)-u(0)\) och medeltöjningen blir \(\epsilon=(u(L)-u(0)) /L\).

Medeltöjning

\[\epsilon=\frac{\delta}{L}\]

Om nu töjningen \(\epsilon\) eftersöks vid en speciell koordinat \(x\) så krävs kännedom av förskjutningsfältet \(u(x)\). För att få töjningen vid \(x\) tar vi följande gränsvärde

Normaltöjning i en punkt

\[\epsilon(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}= \od{u}{x} = u'(x)\]

I den här kursen behandlar vi bara s.k. små deformationers teori vilket innebär att töjningarna är små, vanligtvis mindre än ca 5 % (\(|\epsilon| < 0.05\)). Små deformationer innebär att flera geometriska förenklingar kan göras som vi kommer att se flera exempel på.

Töjning vid stora deformationer

Ett lämpligt töjningsmått för stora deformationer är den logaritmiska töjningen (eller sann töjning)

\[\epsilon=\int_0^{\epsilon} \mathrm{d} \epsilon = \int_{L_0}^{L_0+\delta } \mathrm{d} L/L=\ln(1+\delta/L_0)\]

Med detta mått fås ett icke-linjärt samband mellan deformation och töjning. Även gällande spänningen så bör hänsyn tas till att tvärsnittets storlek ändras då man beräknar materialets ansträngning. Ett lämpligt mått är sann spänning vilket är inre normalkraft dividerat med deformerad tvärsnittsarea.

Materialmodell -- Hookes lag

För att karakterisera beteendet hos ett material genomför man olika experiment där det s.k. dragprovsförsöket är det mest vanliga. Detta experiment ger sambandet mellan yttre kraft \(P\) och längdförändringen \(\Delta L\) av en stång.

Vad som mäts i experimenten är \(P=\sigma \, A\) samt \(\delta =\epsilon \, L\). Eftersom vi vill få fram materialets beteende utan inverkan av provstavens dimensioner, dvs längd \(L\) och tvärsnittsarea \(A\), dividerar vi med dessa. Själva materialets beteende blir därför ett samband mellan spänning \(\sigma\) och töjning \(\epsilon\). Detta materialsamband kallas också för konstitutivt samband och för en metall kan det typiskt se ut enligt figuren nedan.

Ett töjning--spänningsdiagram för ett typiskt konstruktionsstål. Den första (linjära) delen beskrivs av Hookes lag.

När töjningarna är små gäller approximativt ett linjärt samband mellan spänning och töjning (första delen av grafen) enligt

\[\sigma = E \, \epsilon\]

där \(E\) är en proportionalitetskonstant som kallas Elasticitetsmodul och har enheten [N/m\({}^2\) = Pa]. Detta samband mellan spänning och töjning kallas Hookes lag, efter Robert Hooke, och är ett fundamentalt materialsamband inom hållfasthetsläran. Värdet på \(E\) för stål är ungefär \(2.1 \cdot 10^{12} \Pa = 210 \GPa\). Vi sammanfattar:

Hookes lag

\[\sigma = E \, \epsilon\]
  • \(\sigma\) - Normalspänning [Pa]
  • \(E\) - Elasticitetsmodul [Pa]
  • \(\epsilon\) - Normaltöjning [-]

Så länge spänningen är lägre än flytgränsen \(\sigma_{\rm y}\), se figuren som beskriver ett konstruktionsstål ovan, beter sig materialet elastiskt. Detta innebär att vid avlastning till noll spänning (kraft) fås noll töjning (deformation). Om materialet belastas med högre spänning än \(\sigma_{\rm y}\) fås en kvarstående töjning efter avlastning -- man säger att materialet plasticerar eller flyter. Detta är önskvärt i t.ex. formningsprocesser1 men skall i regel undvikas. Högsta möjliga spänning materialet klarar, innan det går sönder, kallas brottspänning och betecknas \(\sigma_{\rm u}\).

De allra flesta (solida) material kan beskrivas med ett linjärt samband som Hookes lag inom ett visst töjningsintervall. Men utanför detta intervall beter sig material generellt sett väldigt olika. Det är stor skillnad mellan en metall, en plast eller en bröddeg.

Alla samband mellan spänning och töjning kallas för materialsamband eller konstitutiva samband och det är viktigt att inse att dessa är matematiska modeller. De beskriver hur material beter sig under deformation men det finns inget material som är linjärelastiskt. Studiet av materialsamband kallas materialmekanik och är ett stort forskningsområde och det erbjuds flera kurser i ämnet.

Tvärkontraktion

Om man drar i en stång förlängs den men blir även tunnare -- ett illustrativt exempel är när man drar i ett gummiband. Om töjningen längs stången betecknas \(\eps_{\parallel}\) och töjningen tvärs (i tjockleksriktningen) betecknas \(\eps_{\perp}\) har man från experiment för metaller och små töjningar visat att följande samband gäller

\[\eps_{\perp} = - \nu \cdot \eps_{\parallel}\]

där \(\nu\) är en konstant som kallas tvärkontraktionstal eller Poissons tal [-], efter Siméon Denis Poisson. Typiska värden på \(\nu\) är \(0.3\) för metaller och \(0.2\) för betong. Om \(\nu=0.5\) fås ingen volymförändring under deformation och sådana material kallas inkompressibla, ex. gummi och många fluider.


  1. Exempelvis vid formningen av bagageluckan till en bil. 
Back to top