Skip to content

Endimensionella stångsystem

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Introduktion

Ett elastiskt stångsystem består av stångelement som vardera har en konstant tvärsnittsarea och elasticitetsmodul. Stångsystemet belastas bara i sina ändpunkter och knutpunkter mellan stångelement. Ett exempel visas i figuren nedan.

Stångsystem beståendes av två seriekopplade stänger belastade i knutpunkterna.

På stångsystemet verkar de yttre krafterna \(P_1\) och \(P_2\) i knutpunkten i mitten och till höger. Den vänstra änden kan ej förflyttas -- vi säger att stången är fast inspänd. \(p_1\) och \(p_2\) är knut(punkts)förskjutningar och eftersom knuten till vänster är fast inspänd har vi inte infört någon förskjutning där. Förskjutningarna \(p_1\) och \(p_2\) kallas för strukturfrihetsgrader och hur stora dessa blir beror naturligtvis på de yttre lasternas storlek.

Knutpunktsmetoden -- statiskt bestämda system

En metodik för att analysera systemet är den så kallade knutpunktsmetoden och vi illustrerar metoden genom att analysera strukturen ovan. Ett första steg i denna metodik är att frilägga knutpunkterna och ställa upp kraftjämvikt:

Exempel

Friläggning av det två (fria) knutarna.
\[\rightarrow: \; -N_1+N_2+P_1=0, \quad \quad \rightarrow: \; -N_2+P_2=0\]

Vi ser att antalet jämviktsekvationer blir således lika med antalet strukturfrihetsgrader. I detta fall är det lika många obekanta snittkrafter, \(N_1\) och \(N_2\), som jämviktsekvationer. Detta system kallas för statiskt bestämt -- antalet strukturfrihetsgrader och obekanta inre stångkrafter är desamma.

Vi kan lösa ut stångkrafterna och sedan bestämma längdförändringen hos respektive stång genom att använda Hookes lag kombinerat med uttrycket för medeltöjning och får då (för varje stång)

\[N= \sigma \ A = E \ \epsilon \ A = \frac{EA}{L} \delta\]
\[N_1=\frac{E \, A_1}{L_1} \, \delta_1, \quad \quad N_2=\frac{E \, A_2}{L_2} \, \delta_2\]

Om vi är intresserade av strukturfrihetsgraderna \(p_1\) och \(p_2\) kan de fås fram genom deformationssambanden:

\[\delta_1=p_1, \quad \quad \delta_2=p_2-p_1\]

Statiskt obestämda system

Stångstrukturer där det finns fler obekanta stångkrafter (snittkrafter) än vad det finns strukturfrihetsgrader kallas statiskt obestämda. För att lösa dessa måste man generellt sett kombinera de tre sambanden jämvikt, material och deformation. Detta visar vi genom följande exempel.

Exempel

Ett elastiskt stångsystem bestående av två stångelement, med olika längd och med olika material och geometri, utsätts för en punktlast \(P\), enligt figuren.

I detta system finns bara en strukturfrihetsgrad p.

Jämviktsbetraktelse av knutpunkten ger:

\[\rightarrow: \quad -N_1+N_2+P=0\]

Här kan konstateras att antalet obekanta stångkrafter är 2 och antalet strukturfrihetsgrader är 1. Man säger att systemet är statiskt obestämt av ordning 1. Konstitutiva samband för de båda stångelementen är:

\[ N_1=\frac{E \, A_1}{L_1} \, \delta_1, \qquad N_2=\frac{E \, A_2}{L_2} \, \delta_2 \]

Till sist gäller deformationssambanden:

\[ \delta_1=p, \qquad \delta_2=-p \]

Om vi nu summerar antalet ekvationer så är de 5 och antalet obekanta, om vi antar oss känna yttre lasten \(P\), så är de också 5 \((N_1\), \(N_2\), \(\delta_1\), \(\delta_2\) och \(p)\). Därmed är systemet lösbart.

Back to top