Vridning av tjockväggigt cirkulärt rör

$$ \newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{mean}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{th}} \newcommand{\Mv}{T} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{parts}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\text{fläns}} \newcommand{\web}{\text{liv}} \newcommand{\crit}{\rm{cr}} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}} \newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L} \newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A} \newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V} \renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi} \newcommand{\x}{\b{x}} \newcommand{\K}{\b{K}} \newcommand{\Ke}{\K^e} \newcommand{\f}{\b{f}} \newcommand{\fe}{\f^e} \newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}} \newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}} \newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}} \newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}} \newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}} \newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}} \newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}} \newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}} \newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e} \newcommand{\N}{\b{N}} \newcommand{\B}{\b{B}} \newcommand{\Ne}{\b{N}^e} \newcommand{\Be}{\b{B}^e} \newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} } \newcommand{\J}{\b{J}} \newcommand{\bxi}{\b{\xi}} \newcommand{\hp}{\hphantom{-}} \newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}} \newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}} \newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}} \newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}} \newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}} \newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1} \renewcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL } \newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA } \newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV } \newcommand{\Ndofs}{n} \newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}} \newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}} \newcommand{\avec}{\b{a}} \renewcommand{\a}{\b{a}} \newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}} \newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbf{F}} \renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \newcommand{\M}{\mathbf{M}} \newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}} \newcommand{\origin}{\mathcal{O}} \newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}} \newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}} \renewcommand{\deg}{^\circ} \newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}} \nonumber$$

Skjuvspänning vid vridning

Studera ett tjockväggigt rör

Precis som för det tunnväggiga röret antar vi följande kinematiska samband

\[\gamma=r \, \frac{\varphi(L)-\varphi(0)}{L}= r \, \frac{\Delta \varphi}{L}\]

samt Hookes lag:

\[\tau=G \, \gamma\]

Om vi kombinerar dessa får vi för en given vridvinkel \(\Delta \varphi\) skjuvspänningsfördelning \(\tau(r)\) enligt:

\[\tau=\frac{G \, r \, \Delta \varphi}{L}\]

dvs en linjär variation med \(r\). Den största spänningen fås vid yttre mantelytan av det cirkulära röret.

Det som skiljer ett tunnväggigt och ett tjockväggigt rör är att för ett tjockväggigt rör tillåter vi att spänningen varierar med radien \(r\). Men fortfarande måste skjuvspänningarna summeras ihop till snittmomentet \(M_{\rm v}\):

\[\Mv=\int_A \tau(r) \, r \, {\rm d}A = \braces{\dA =2 \pi r \, \dr} = \ \frac{G \, \Delta\varphi}{L} \int_a^b r^2 \, 2 \pi r \, \dr = \frac{G \, K_{\rm v} }{L} \, \Delta \varphi\]

där \(K_{\rm v}=\pi \, (b^4-a^4)/2\) kallas vridstyvhetens tvärsnittsfaktor. Med detta samband kan skjuvspänningsfördelningen skrivas som:

\[\tau=\frac{M_{\rm v}\, r}{K_{\rm v}}\]

vilket illustreras i figuren nedan.

Max skjuvspänning för ett tjockväggigt tvärsnitt fås för den största radien, d.v.s. då \(r = b \gives\)

\[\tau_{\rm{max}} = \frac{M_{\rm v}}{K_{\rm v}} b = \frac{M_{\rm v}}{W_{\rm v}}\]

med det introducerade vridmotståndet \(W_v\)

\[W_v = \frac{K_v}{b} = \frac{\pi}{2} \left( b^3 - \frac{a^4}{b} \right)\]

Vridmotstånd \(W_{\rm v}\) används för att beräkna största skjuvspänning i ett tvärsnitt och \(W_v\) finns tabellerad för vanliga tvärsnitt.

Sammanfattningsvis gäller för ett elastiskt tjockväggigt cirkulärt axelelement följande samband mellan yttre moment \(M\) och skillnaden i vridvinkel \(\Delta \varphi\):

\[M=\frac{G \, K_{\rm v}}{L} \, \Delta \varphi\]

där vridstyvhetens tvärsnittsfaktor \(K_{\rm v}\) för ett tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt är \(K_{\rm v}= \pi \, (b^4-a^4)/2\).

Genomplasticering av tjockväggigt cirkulärt rör

Om vi antar att materialet i röret beter sig elastiskt-idealplastiskt enligt figuren nedan.

Då kan vi bestämma det vridande momentet \(M_{\rm v,y}\) som krävs för begynnande plasticering. Detta fås genom att använda sambanden ovan för ett linjärt elastiskt material och anta att spänningen är \(\tau_{\rm y}\) för \(r=b\) (där axeln är som mest belastad):

\[\tau_{\rm y}=\frac{ M_{\rm v,y}\, b}{K_{\rm v}} \quad \Rightarrow \quad M_{\rm v,y}= \frac{\tau_{\rm y} \, K_{\rm v}}{b}\]

Vi kan också bestämma det moment \(M_{\rm v,f}\) då röret är helt genomplasticerat. I det fallet använder vi att \(\tau=\tau_{\rm y}\) för alla \(r\) och får:

\[M_{\rm v,f}=\int_A \tau_{\rm y} \, r \, {\rm d}A= \tau_{\rm y} \int_a^b r \,2 \pi r \, \dr= \tau_{\rm y} \, \frac{2 \pi}{3} (b^3-a^3)\]

En illustration av spänningstillståndet vid genomplasticering visas i figuren nedan.

Syftet med att beräkna momentet som krävs för genomplasticering är att få en övre gräns vad konstruktionselementet tål innan det havererar.

Flytlastförhöjning

Det definieras som:

\[\beta = \left[M_{\rm v,f}-M_{\rm v,y} \right]/M_{\rm v,y} = \ldots =\frac{4b}{3} \cdot\frac{ b^3-a^3}{b^4-a^4}-1\]

och är en faktor som säger hur mycket större moment ett tvärsnitt kan bära om man tillåter det att genomplasticera jämfört med initierande plasticering. För tunnväggiga tvärsnitt blir \(\beta=0\) eftersom hela tvärsnittet genomplasticerar direkt p.g.a. antagandet om konstant spänning över tjockleken.