Axelns differentialekvation
$$
\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1}
\newcommand{\eye}{\mathbf I}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\S}{\b{S}}
\newcommand{\s}{\b{s}}
\newcommand{\Kv}{K_\mathrm{v}}
\newcommand{\normal}{\b{n}}
\newcommand{\medel}{\rm{mean}}
\newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad}
\newcommand{\qgives}{\qquad \gives}
\newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,}
\newcommand{\rot}{\varphi}
\newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad}
\newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}}
\newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}}
\newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}}
\newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}}
\newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}}
\newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}}
\newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}}
\newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}}
\newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}}
\newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}}
\newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}}
\newcommand{\mean}[1]{\bar #1}
\newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad}
\newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad}
\newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad}
\newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad}
\newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad}
\newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad}
\newcommand{\Dx}{\Delta x}
\newcommand{\Dy}{\Delta y}
\newcommand{\Dz}{\Delta z}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d} x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d} y}
\newcommand{\dz}{\mathrm{d} z}
\newcommand{\term}{\mathrm{th}}
\newcommand{\Mv}{T}
\newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}}
\newcommand{\shear}{\gamma}
\renewcommand{\*}{\cdot}
\renewcommand{\cd}{\cdot}
\newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}}
\renewcommand{\bis}{{\prime \prime}}
\renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}}
\newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}}
\newcommand{\DGK}{D_{\rm{GI}}}
\newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\yield}{\rm{s}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\dr}{\rm{d} r}
\newcommand{\Dr}{\Delta r}
\newcommand{\Drot}{\Delta \rot}
\newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}}
\newcommand{\q}{q}
\newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}}
\newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}}
\newcommand{\tot}{\rm{tot}}
\newcommand{\parts}{\rm{parts}}
\newcommand{\nparts}{\# \parts}
\newcommand{\flange}{\text{fläns}}
\newcommand{\web}{\text{liv}}
\newcommand{\crit}{\rm{cr}}
\newcommand{\qv}{q_{\mathrm{t}}}
\newcommand{\dL}{\ \mathrm{d}L}
\newcommand{\dA}{\ \mathrm{d}A}
\newcommand{\dV}{\ \mathrm{d}V}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\dxi}{\ \rm{d} \xi}
\newcommand{\x}{\b{x}}
\newcommand{\K}{\b{K}}
\newcommand{\Ke}{\K^e}
\newcommand{\f}{\b{f}}
\newcommand{\fe}{\f^e}
\newcommand{\fb}{\f_{\mathrm{b}}}
\newcommand{\fl}{\f_{\mathrm{l}}}
\newcommand{\fc}{\f_{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbh}{\fb^{\mathrm{h}}}
\newcommand{\fbg}{\fb^{\mathrm{g}}}
\newcommand{\fbc}{\fb^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\fbeh}{\fb^{\mathrm{h}e}}
\newcommand{\fbeg}{\fb^{\mathrm{g}e}}
\newcommand{\fbec}{\fb^{\mathrm{c}e}}
\newcommand{\Kebar}{\bar{\K}^e}
\newcommand{\N}{\b{N}}
\newcommand{\B}{\b{B}}
\newcommand{\Ne}{\b{N}^e}
\newcommand{\Be}{\b{B}^e}
\newcommand{\NeT}{ \b{N}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\BeT}{ \b{B}^{e\mathrm{T}} }
\newcommand{\J}{\b{J}}
\newcommand{\bxi}{\b{\xi}}
\newcommand{\hp}{\hphantom{-}}
\newcommand{\trans}[1]{#1^\mathrm{T}}
\newcommand{\DEA}{D_{\mathrm{EA}}}
\newcommand{\DEI}{D_{\mathrm{EI}}}
\newcommand{\DGK}{D_{\mathrm{GK}}}
\newcommand{\DT}{\b{D}_{\mathrm{T}}}
\newcommand{\on}[1]{\quad \mathrm{on} \quad #1}
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\intL}[1]{ \int_{\L} #1 \dL }
\newcommand{\intA}[1]{ \int_{S} #1 \dA }
\newcommand{\intV}[1]{ \int_{V} #1 \dV }
\newcommand{\Ndofs}{n}
\newcommand{\nel}{n_{\mathrm{el}}}
\newcommand{\nbnd}{n_{\mathrm{bnd}}}
\newcommand{\avec}{\b{a}}
\renewcommand{\a}{\b{a}}
\newcommand{\bnabla}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\grad}{\boldsymbol{\nabla}}
\newcommand{\T}{^{\mathrm{T}}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\renewcommand{\r}{\mathbf{r}}
\newcommand{\M}{\mathbf{M}}
\newcommand{\vecright}[1]{\overrightarrow{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\origin}{\mathcal{O}}
\newcommand{\V}[1]{V_{\mathrm{#1}}}
\newcommand{\H}[1]{H_{\mathrm{#1}}}
\renewcommand{\deg}{^\circ}
\newcommand{\basevec}[1]{\mathbf{e}_{\mathrm{#1}}}
\nonumber$$
Härledning av axelns differentialekvation
I det här avsnittet härleder vi differentialekvationen för en elastisk axel. Härledningen är analog med härledningen av stångens differentialekvation.
Jämvikt
Antag att en axel belastas i sina ändar av yttre vridmomenten \(M_1\) och \(M_2\) enligt figuren nedan. Dessutom verkar det vridande momentet \(q_{\rm v}(x)\) per längdenhet. Axeln tillåts ha ett varierande tvärsnitt vilket ger \(K_{\rm v}(x)\) samt varierande skjuvmodul \(G(x)\) .
En momentjämvikt kring \(x\) -axeln ger:
\[\twoheadrightarrow: \qquad \Mv(x + \Dx) + \int_x^{x+\Delta x} {q_{\rm v}(x)}
\cdot {\rm d} x - \Mv(x) = 0\]
vilket för små \(\Delta x\) kan skrivas som:
\[\Mv(x + \Dx) + q_{\rm v}(x) \cdot \Delta x - \Mv(x) = 0\]
Om vi nu dividerar med \(\Dx\) och går i gräns då \(\Dx \rightarrow 0\)
\[\lim_{\Dx \rightarrow 0} \frac{\Mv (x + \Dx) - \Mv(x) }{\Dx} + q_{\rm v}(x) =
\Mv' + q_{\rm v} = 0\]
\[\Mv' + q_v = 0\]
Jämför denna ekvation med stångens jämviktsekvation \(N' + \Kx A = 0\)
Som visats tidigare kan sambandet mellan inre vridande moment \(M_{\rm v}\) och skjuvspänningen \(\tau\) , för både tunnväggiga och tjockväggiga cirkulära tvärsnitt, skrivas som:
\[M_{\rm v}=\frac{K_{\rm v} \, \tau}{r}\]
Kinematik
På samma sätt som för ett axelelement med cirkulärt tvärsnitt antar vi att varje tvärsnitt endast roterar och att tvärsnittet förblir plant. För ett axelelement med längd \(L\) antog vi följande kinematiska samband:
\[\gamma=r \, \frac{\varphi(L)-\varphi(0)}{L}\]
Detta kan nu översättas till axeldelen \(\Delta x\) enligt:
\[\gamma(x)=r \, \lim_{\Dx \rightarrow 0}\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}=r \, \varphi'(x)\]
Hookes lag
Hookes lag för skjuvspänning:
\[\tau= G \, \gamma\]
Axelns differentialekvation
Axelns differentialekvation erhålles nu om samband för jämvik, kinematik och materialmodell kombineras.
Vi börjar med att sätta in Hookes lag och kinematiska sambandet i uttrycket för inre vridande moment \(M_{\rm v}\) :
\[M_{\rm v}=\frac{K_{\rm v} \, \tau}{r} =
\frac{K_{\rm v} \, G \, \gamma}{r} =
G \,K_{\rm v} \, \varphi'\]
Vilket till sist sätts in i jämviktssambandet:
\[M_v' + q_{\rm v} = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}x}(G \,K_{\rm v} \, \varphi')+q_{\rm v}=0\]
Axelns differentialekvation
\[
\od{}{x} \paren{G\, K_{\rm v} \, \od{\varphi}{x}} + q_{\rm v}=0
\]
För att lösa differentialekvationen krävs två randvillkor, de vanligaste är föreskriven rotation eller föreskrivet snittmoment.
