$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

F1.1 Formler


F1.1.1 Stången

$$ -\frac{\rm d}{{\rm d}x} \left[ EA \frac{ {\rm d}u }{{\rm d}x} \right]=K_x \, A $$
(F1–1)

  • $E A$ - Dragstyvhet [N]
  • $u(x)$ - Axiell förskjutning [m]
  • $\epsilon(x)={\rm d}u/{\rm d}x$ - Normaltöjning (axialtöjning) [-]
  • $N(x) = E \, A \, \epsilon$ - Snittnormalkraft [N]
  • $K_x\, A$ - Axiallast [N/m] med volymslasten $K_x$ [N/m^3^]

Spänningen fås som: $\sigma(x) = \frac{N}{A}$

F1.1.2 Axeln

$$ -\frac{\rm d}{{\rm d}x} \left[ G\Kv \frac{ {\rm d}\varphi }{{\rm d}x} \right]=q_{\mathrm{v}} $$
(F1–2)

  • $G \Kv(x)$ = Vridstyvhet [N m^2]
  • $\varphi(x)$ - Vridningsvinkel
  • $\upsilon(x) = {\rm d} \varphi/\rm{d}x = \gamma/r$ - Deformation (förvridning) [-]
  • $M_{\rm v}(x) = G \Kv \upsilon$ - Snittvridmoment [Nm]
  • $\qv(x)$ - Yttre pålagt vridmoment [Nm/m]

Spänningsfördelning för ett tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt:

$$ \tau(x,r) = M_{\mathrm{v}} r / K_{\mathrm{v}} $$
(F1–3)

Snittmoment vid genomplasticerat tjockväggigt cylindriskt tvärsnitt:

$$ M_{\rm{vf}} = \frac{2 \pi}{3}(b^3-a^3) \tau_{\mathrm{sv}} $$
(F1–4)

F1.1.3 Balken

$$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} \left[ EI \frac{ {\rm d}^2 w }{{\rm d}x^2} \right] =q $$
(F1–5)

  • $E\,I(x)$ - Böjstyvhet [N m^2]
  • $w(x)$ - Uböjning/transversell förskjutning [m]
  • $\kappa(x)=-{\rm d}^2 w/{\rm d}x^2$ - Krökning [1/m]
  • $M(x)=E\, I \, \kappa$ - Snittböjmoment [Nm]
  • $q(x)$ - Transversell last [N/m]

Jämviktsekvationer: ${\rm d}M/{\rm d}x=T$ ${\rm d}T/{\rm d}x=-q$

Spänningar vid böjning

$$\tau(x,z) = \frac{ST}{I_y b}$$
(F1–7)

F1.1.4 Almänna spänningstillstånd

Huvudspänningar

Lös egenvärdesproblemet

$$(\b{S} - \sig \eye) \normal = \b{0} \quad \Rightarrow \quad \det(\b{S} - \sig \eye ) = 0$$
(F1–8)

Där $\b{S}$ är spänningsmatrisen

$$ \b{S} = \begin{pmatrix} \sig_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sig_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sig_z \end{pmatrix} $$
(F1–9)

$\sigma$ är huvudspänning och $\normal$ är huvudspänningsriktning.

Biaxiellt/plant spänningstillstånd

Om $\sigma_z=0$ gäller i $xy$-planet:

$$ \sig(\varphi)=\sig_x \cos^2(\varphi) + \sig_y \sin^2(\varphi) + \tau_{xy} \sin(2 \varphi) $$
(F1–10)

$$ \tau(\varphi) = \dfrac{\sig_y - \sig_x}{2} \sin(2\varphi) + \tau_{xy} \cos(2\varphi) $$
(F1–11)

Plane_stress_state

Speciellt fås huvudspänningstillstånd för $\varphi = \psi$:

$$ \sigma_1 = \frac{1}{2} ( \sigma_x+\sigma_y ) + R $$
(F1–12)

$$ \sigma_2 = \frac{1}{2} ( \sigma_x+\sigma_y ) - R $$
(F1–13)

$$ \sin(2 \psi) = \dfrac{ \tau_{xy}}{R} \qquad \cos(2 \psi) = \dfrac{ \sigma_{x}-\sigma_y}{2 R} $$
(F1–14)
där
$$ R=\sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } $$
(F1–15)

F1.1.5 Tunnväggiga tryckkärl

För ett tunnväggigt cylindrikst tryckkärl:

$$ \begin{cases} \sig_r \approx 0 \\ \sig_\rot = \frac{pa}{h} \\ \sig_z = \frac{pa}{2h} \end{cases} $$
(F1–16)

För ett tunnväggigt sfäriskt tryckkärl gäller:

$$ \begin{cases} \sig_r \approx 0 \\ \sig_\rot = \sig_{\theta} = \frac{pa}{2h} \end{cases} $$
(F1–17)

där $p$ är inre övertryck, $a$ är medelradien och $h$ är godstjockleken.

F1.1.6 Hookes generaliserade lag för linjärt isotropt material

Hookes generaliserade lag på flexibilitetsform:

$$ \begin{cases} \epsilon_x = \frac{1}{E} \big( \sigma_x-\nu \, \left( \sigma_y+\sigma_z \right) \big) + \alpha \, \Delta T\; \\ % % \epsilon_y =\frac{1}{E} \big( \sigma_y-\nu \, \left(\sigma_z+\sigma_x \right) \big) + \alpha \, \Delta T\; \\ % \epsilon_z = \frac{1}{E} \big( \sigma_z-\nu \, \left(\sigma_x+\sigma_y \right) \big) + \alpha \, \Delta T\; \\ % \gamma_{xy} = \frac{1}{G} \tau_{xy} \\ % \gamma_{yz} = \frac{1}{G}\tau_{yz} \\ % \gamma_{zx} = \frac{1}{G}\tau_{zx} \end{cases} $$
(F1–18)
med $G=E/ \big(2 (1+\nu) \big)$.

Hookes generaliserade lag på styvhetsform:

$$\begin{cases} \sig_x = \dfrac{E}{1+\nu} \left( \epsilon_x + \dfrac{\nu}{1-2\nu} \left(\epsilon_x+\epsilon_y+ \epsilon_z \right) \right)- \dfrac{E \, \alpha \, \Delta T}{1-2\, \nu}\; \\ % \sigma_y=\dfrac{E}{1+\nu} \left( \epsilon_y+\dfrac{\nu}{1-2\nu} \left(\epsilon_x+\epsilon_y+ \epsilon_z \right) \right) - \dfrac{E \, \alpha \, \Delta T}{1-2\, \nu}\; \\ % \sigma_z=\dfrac{E}{1+\nu} \left( \epsilon_z+\dfrac{\nu}{1-2\nu} \left(\epsilon_x+\epsilon_y+ \epsilon_z \right) \right) - \dfrac{E \, \alpha \, \Delta T}{1-2\, \nu}\; \\ % \tau_{xy}={G}\gamma_{xy} \\ % \tau_{yz}={G}\gamma_{yz} \\ % \tau_{zx}={G}\gamma_{zx} \end{cases}$$
(F1–19)

F1.1.7 Effektivspänningar

Effektivspänning enligt von Mises:

$$\begin{split} \sige^{\rm{vM}} = &\sqrt{ \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2-\sigma_x\, \sigma_y-\sigma_y \, \sigma_z -\sigma_z \, \sigma_x+3\tau_{xy}^2+3\tau_{yz}^2+3\tau_{zx}^2 }=\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2} \end{split}$$
(F1–20)

Effektivspänning enligt Tresca:

$$\sige^{\rm{T}} = \max(|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2-\sigma_3|,|\sigma_3-\sigma_1|)$$
(F1–21)
där $\sigma_1$, $\sigma_2$ och $\sigma_3$ är huvudspänningar.

F1.1.8 Tjockväggiga rör - plana cirkulära skivor

För $K_r=0$

$$ \frac{\rm{d}}{\rm{d}r} \left( \frac{1}{r} \frac{\rm{d}}{\rm{d}r}(u_r r) \right) = 0 $$
(F1–22)

Allmän lösning

$$ u_r = A_1 r + A_2/r $$
(F1–23)
där $A_1$ och $A_2$ bestäms från randvillkor.

Töjningar

$$ \begin{align} \eps_r(r) &= \od{u_r(r)}{r} \\ \eps_{\rot}(r) &= \frac{u_r(r)}{r} \end{align} $$
(F1–24)

Spänningen i radiell och tangentiell riktning ges av

$$ \begin{align} \sig_r(r) &= A - \frac{B}{r^2} \\ \sig_{\rot}(r) &= A + \frac{B}{r^2} \end{align} $$
(F1–25)

med $A = \frac{E}{1-\nu}A_1$ och $B = \frac{E}{1+\nu}A_2$

F1.1.9 Instabilitet - knäckning

$$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} \left[ EI \frac{ {\rm d}^2 w }{{\rm d}x^2} \right] + P\frac{ {\rm d}^2 w }{{\rm d}x^2} = q $$
(F1–26)
med $P = n^2 \cdot EI$.

För konstant $EI$ och $q=0$ har ekvationen den allmänna lösningen:

$$ w(x) = C_1 n x + C_2 + C_3 \cos(nx) + C_4\sin(nx) $$
(F1–27)
där integrationskonstanterna $C_1 - C_4$ bestäms mha fyra randvillkor

$$ \b{A}(n)\b{C} = \b{0} \equivalent \begin{pmatrix} \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \\ C_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
(F1–28)

Instabillitet erhålls för de $n_i$ så att $\det{\b{A}(n_i)} = 0$, tillhörande $\b{C}_i$ ger knäckningsmoderna.

Eulers knäckfall:

Euler_cases

  • $P_{\mathrm{E1}} = \frac{\pi^2 EI}{4L^2}$
  • $P_{\mathrm{E2}} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$
  • $P_{\mathrm{E3}} = \frac{2.05\pi^2 EI}{L^2}$
  • $P_{\mathrm{E4}} = \frac{4\pi^2 EI}{L^2}$
  • $P_{\mathrm{E5}} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$

F1.1.10 Spänningskoncentrationer

Linjärt isotropt elastiskt material:

$$ \sigma_{\rm max}=K_{\rm t} \, \sigma_{\rm nom} $$
(F1–29)
där $K_t$ är spänningskoncentrationsfaktorn.

För cirkulärt hål, enaxlig belastning (plant spännings- och plant deformationstillstånd):

$$ \sigma_\varphi(\varphi)= [1-2 \, \cos(2\, \varphi)\,] \, \sigma_\infty $$
(F1–30)

Cirkulärt hål, tvåaxlig belastning: (plant spännings- och plant deformationstillstånd):

$$ \sigma_{\varphi,{\rm max}}=2 \, \sigma_\infty $$
(F1–31)