$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.1 Ytcentrum och yttröghetsmoment för en I-balk

Berökna för tvärsnittet:

  1. ytcentrums läge från underkanten
  2. delarnas yttröghetsmoment $I_{yi}$ och $I_{zi}$ m.a.p. deras lokala koordinatsystem
  3. värsnittets totala yttröghetsmoment $I_{y}$ och $I_{z}$ m.a.p. tvärsnittets ytcentrum
  4. böjmotstånden $W_{y}$ och $W_{z}$

Given data:

  • $t_{\rm f} = t_1$
  • $b_{\rm f} = 2B$
  • $t_{\rm l} = t_2$
  • $h_{\rm l} = 3B$

  1. Ytcentrum ligger på avståndet $t_1 + \frac{3B}{2}$ från underkant och längs symmetrilinjen.
  2. Delarnas yttröghetsmoment
    • $I_{z1} = I_{z3} = \frac{2 t_1 B^3}{3}$
    • $I_{z2} = \frac{B \ t_2 ^3}{4}$$
  3. Tvärsnittets yttröghetsmoment
    • $I_y = \frac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2$
    • $I_z \frac{4 t_1 B^3}{3} + \frac{B \ t_2 ^3}{4}$
  4. Böjmotstånd
    • $W_y = \frac{I_y}{\frac{3B}{2}+t_1}$
    • $W_z = \frac{4 t_1 B^2}{3} + \frac{ t_2 ^3}{4} $

1 Ytcentrum från underkant

Vi inför ett lokalt koordinatsystem $\eta-\zeta$ vid underkanten på tvärsnittet. Vi delar också in tvärsnittet i tre delar enligt nedan och ritar in positionen för ytcentrum i z-led (som vi ska bestämma).

Ytcentrum kan nu beräknas enligt

$$\begin{align}z_{\rm{yc}} &= \frac{ \sum_i A_i \cdot a_{\zeta i} }{ \sum_i A_i } = \frac{A_1 a_{\zeta 1} + A_2 a_{\zeta 2} +A_3 a_{\zeta 3}}{A_1 + A_2 + A_3}\end{align}$$
(1)

Avstånden $a_{zi}$ går från vårt lokala koordinatsystem till varje dels lokala läge för ytcentrum enligt figuren ovan. Areor och avstånd kan tecknas:

  • $A_1 = A_3= t_{\rm f} \cdot b_{\rm f} = 2Bt_1$
  • $A_2 = t_{\rm l} \cdot h_{\rm l} = 3Bt_2$
  • $a_{\zeta 1} = t_{\rm f}/2 = t_1/2$
  • $a_{\zeta 2} = t_{\rm f} + h_{\rm l}/2 = t_1 + 3B/2$
  • $a_{\zeta 3} = t_{\rm f} + h_{\rm l} + t_{\rm f}/2 = 3t_1/2 + 3B$

Sätter vi in dessa värden fås

$$ z_{\rm{yc}} = \frac{ 2Bt_1 \cdot t_1/2 + 3Bt_2 \cdot (t_1 + 3B/2) + 2Bt_1 \cdot (3t_1/2 + 3B)}{4Bt_1 + 3Bt_2}\\ =\ldots= t_1 + \frac{3B}{2} $$
(2)

Ytcentrum ligger därmed i mitten på tvärsnittet som väntat.

2 Yttröghetsmoment för varje del

Vi utgår från "$I=\dfrac{b \ h^3}{12}$" som är yttröghetsmomentet för en rektangel.

För böjning kring y-axeln:

$$ I_{y1} = I_{y3} = \frac{ 2B \ t_1^3 }{12} = \frac{B t_1^3}{6} $$
(3)

$$ I_{y2} = \frac{ t_2 \ (3B)^3 }{12} = \frac{9 t_2 B^3}{4} $$
(4)

För böjning kring z-axeln:

$$ I_{z1} = I_{z3} = \frac{ t_1 \ (2B)^3 }{12} = \frac{2 t_1 B^3}{3} $$
(5)

$$ I_{z2} = \frac{ 3B \ t_2^3 }{12} = \frac{B \ t_2 ^3}{4} $$
(6)

3 Yttröghetsmoment för tvärsnittet

Steiners sats ger att yttröghetsmomenten för sammasatta tvärsnitt ges av:

$$ \begin{align} I_y &= \sum_i \paren{ I_{yi} + A_i \cdot a_{zi}^2 } \end{align} $$
(7)

$$ \begin{align} I_z &= \sum_i \paren{ I_{zi} + A_i \cdot a_{yi}^2 } \end{align} $$
(8)

Där avstånden $a_{zi}$ och $a_{yi}$ ska mätas från tvärsnittets ytcentrum till varje delareas ytcentrum.

$a_{z1} = -\frac{3B+t_1}{2}$, $a_{z2} = 0$, $a_{z3} = \frac{3B+t_1}{2}$ $a_{y1} = a_{y2} = a_{y3} = 0$ Vi får därmed

$$ \begin{align} I_y & = \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{ -\frac{3B+t_1}{2}}^2} + \paren{ \frac{9 t_2 B^3}{4} + A_2 \cdot 0^2} \\ &+ \paren{ \frac{B t_1^3}{6} + 2Bt_1 \cdot \paren{\frac{3B+t_1}{2}}^2} = \ldots \\ &= \frac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 \end{align} $$
(9)

Eftersom avstånden kvadreras, spelar det ingen roll vilket tecken de har. Därmed hade vi kunnat förenkla beräkningarna något genom att ta "två gånger ena flänsens bidrag".

$$ \begin{align} I_z & = I_{z1} + A_1 \cdot 0^2 + I_{z2} + A_2 \cdot 0^2 I_{z3} + A_3 \cdot 0^2 \\ &= 2\cdot \frac{2 t_1 B^3}{3} + \frac{B \ t_2 ^3}{4} \end{align} $$
(10)

4 Böjmotstånd

Böjmotståndet kring en given axel definieras som "yttröghetsmomentet delat med största avståndet till tvärsnittets kant", i termer av ekvationer:

$$ W_y = \frac{I_y}{\abs{z_{\max}}} $$
(11)

$$ W_z = \frac{I_z}{\abs{y_{\max}}} $$
(12)

Genom att definiera böjmotstånden på detta vis kan man enkelt beräkna maximal böjspänning som $\sigma_\max = \frac{M_\max}{W}$. Notera att böjmotståndet finns tabellerat för standardbalkar och behöver därför inte beräknas på nytt.

Definitionen ger:

$$ W_y = \frac{I_y}{\frac{3B}{2}+t_1} $$
(13)

$$ W_z = \frac{I_z}{\frac{2B}{2}} = \frac{4 t_1 B^2}{3} + \frac{ t_2 ^3}{4} $$
(14)