$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.3 Normalspänning vid böjning av ett I-tvärsnitt

Tvärsnittet belastas av ett böjande moment $M_y$ kring y-axeln. Beräkna (böj)normalspänningen i punkterna $P_1-P_5$ som uppkommer p.g.a. belastningen. Rita även upp spänningsfördelningen över tvärsnittets höjd.

Given data:

  • $M_y = 500 \ \rm{kNm}$
  • $t_{\rm f} = t_1=20 \mm$
  • $b_{\rm f} = 2B$
  • $t_{\rm l} = t_2=10 \mm$
  • $h_{\rm l} = 3B$
  • $B = 150 \mm$

  • $\sigma_1 = 166 \MPa$
  • $\sigma_2 = 51 \MPa$
  • $\sigma_3 = 0 \MPa$
  • $\sigma_4 = -51 \MPa$
  • $\sigma_5 = -166 \MPa$

Lösningsgång

Böjspänningarna kan beräknas m.h.a. Naviers formel

$$ \sigma = \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y}z $$
(1)

där vi kan stryka första termen eftersom tvärsnittet endast är belastat med ett böjande moment. För att beräkna spänningarna behövs tvärsnittets yttröghetsmoment $I_y$ som beräknades i uppgiften C1 till

$$ \frac{4Bt_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 $$
(2)

som med numeriska värden på måtten ger

$$ \begin{align} I_y &= \frac{4 \cdot 0.150 \cdot 0.020^3}{3} + 9\cdot 0.150^3 \cdot 0.02 + \frac{9\cdot 0.010 \cdot 0.150^3}{4} \\\ &+ 6 \cdot 0.150^2 \cdot 0.020^2 = 7.29 \cdot 10^{-4} \ \rm{m}^4 \end{align} $$
(3)

Böjspänningar

$$ \sigma_1 = \frac{M_y}{I_y} \paren{\frac{B}{2}+B+t_1} = \frac{500\cdot 10^3}{7.29 \cdot 10^{-4}}\paren{0.075+0.150+0.020} = 166\MPa $$
(4)

$$ \sigma_2 = \frac{M_y}{I_y} \paren{\frac{B}{2}} = \frac{500\cdot 10^3}{7.29 \cdot 10^{-4}}\paren{0.075} = 51\MPa $$
(5)

$$ \sigma_3 = \frac{M_y}{I_y} \cdot 0 = 0 \MPa $$
(6)

$$ \sigma_4 = -\sigma_2 = -51\MPa $$
(7)

$$ \sigma_5 = -\sigma_1 = -166\MPa $$
(8)

Hela spänningsfördelningen över tvärsnittet kan ritas enligt figuren nedan. Notera, att fördelningen är linjär och att eftersom tvärsnittet är symmetriskt blir maximal drag och tryckspänning till beloppet lika stora.