$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.8 Normal och skjuvspänningsberäkning för en konsolbalk

Beräkna normal- och skjuvspänningar i livet vid punkten A, då konsolbalken belastas med kraften $P = 100 \kN$.

  • $\sigma = -213 \MPa$ (tryckspänning)
  • $\tau = -30 \MPa$

Lösningsgång

Vi börjar med att beräkna tvärkraften och momentet vid inspänningen. Därefter kan (böj)normalspänningen och skjuvspänningen beräknas i A. För att göra detta behövs tvärsnittets yttröghetsmoment $I_y$ och det statiska ytmomentet $S_y$ vid snittet A.

Jämvikt vid inspänningen

Snitta precis vid $x=0 \gives$

$$ \eqright H = 0 $$
(1)

$$ \equp -T_{\rm A} - P = 0 \qgives T_{\rm A} = -P $$
(2)

$$ \eqccwmom{A} M_{\rm A} - PL = 0 \qgives M_{\rm A} = PL $$
(3)

Ytcentrum (räknat nedifrån)

$$ \cog{z} = \frac{A_\web a_\web +A_\flange a_\flange }{ A_\web+A_\flange } = \frac{400\*10 \paren{ 10 + 400 \frac{1}{2} } + 400 \cdot 10 \frac{10}{2} }{400 \cdot 10 + 400 \cdot 10} = 107.5 \mm $$
(4)

Yttröghetsmoment

$$ \begin{align} I_y &= \paren{I_{y \web} + A_{\web} a_{z\web}^2 } + \paren{I_{y \flange} + A_{\flange} a_{z\flange}^2} \\ &= \paren{ \frac{10 \* 400^3}{12} + 400\*10\paren{ \frac{400}{2} + 10 - 107.5 }^2 } \\ &+ \paren{ \frac{400 \* 10^3}{12} + \paren{ 107.5 - \frac{10}{2} }^2 }= 1.374\*10^{-4} \meter^4 \end{align} $$
(5)

Spänningsberäkningar

Vi har nu nödvändiga kvantiteter för att bestämma de sökta spänningarna

Normalspänning

Nu när vi beräknat $I_y$ för tvärsnittet samt momentet vid A, kan spänningen beräknas m.h.a. Naviers formel:

$$ \sigma_x = \frac{M}{I_y}z = \frac{PL}{I_y}\paren{ -(\cog{z} - t_\flange) } = \ldots= -213\MPa $$
(6)

Skjuvspänning

För att beräkna skjuvspänningen vid A behöver vi först beräkna det statiska ytmomentet $S_y$ för ett snitt genom A. Detta kan beräknas som "Arean gånger hävarmen", där arean är arean på delen över eller under snittet, multiplicerat med avståndet (hävarmen) från tvärsnittets ytcentrum till den snittade delens ytcentrum. Nedan studerar vi delen under snittet A, d.v.s. flänsen och får

$$ S_y^{\rm A} = A_\flange \* (\cog{z}-\frac{t_{\flange}}{2}) = 400 \* 10 \paren{107.5 - \frac{10}{2}} = 4.1\* 10^{-4} \ \rm{m}^3 $$
(7)

Skjuvspänningen fås nu m.h.a. Jourawskis formel:

$$ \tau_{xz} = \frac{S_y^{\rm A} T}{I_y b} = \frac{S_y^{\rm A} P}{I_y t} = \frac{4.1 \* 10^{-4} \* (-100 \* 10^3)}{1.374 \*10^{-4} \*10 \*10^{-3}} = -2.98\*10^7\Pa \approx -30 \MPa $$
(8)