$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.7 Normal och skjuvspänningsberäkning för en fritt upplagd balk

Beräkna maximal drag-, tryckspänning och skjuvspänning som uppstår i balken nedan. Tvärsnittet är ett dubbelsymmetriskt I-tvärsnitt.

Given data:

  • $t_{\rm f} = 12 \mm$
  • $b_{\rm f} = 200 \mm$
  • $t_{\rm l} = 8 \mm$
  • $h_{\rm l} = 300 \mm$
  • $P = 200 \kN$
  • $L = 4 \meter$

  • $\sig_{\max} = 240 \MPa$ (drag i underkant balk)
  • $\sig_{\min} = - 240 \MPa$ (tryck i överkant balk)
  • $\tau_\max \pm 43 \MPa$

Lösningsgång

Vart uppstår maximal normalspänning?

Utifrån Naviers formel för normalspänningar (utan normalkraft) $\sigma = \frac{M_y}{I_y}z$ finner vi (till beloppet) maximal spänning där momentet är som störst och för störst z-avstånd från ytcentrum:

$$ \sig = \frac{M_y}{I_y}z \qgives \sig_{\max} \text{ vid maximalt $M_y$ och $z$} $$
(1)

Vart uppstår maximal skjuvspänning?

Utifrån Jourawskis formel för skjuvspänningar $\tau = \frac{S_y T_z}{I_y b}$ finner vi maximal spänning där tvärkraften är som störst och där det statiska ytmomentet är som störst:((Principiellt ska även bredden minimeras men den spelar i praktiken sällan en avgörande roll för positionen av maximal skjuvspänning.))

$$ \tau = \frac{S_y T_z}{I_y b} \qgives \tau_{\max} \text{ vid maximalt $T_z$ och $S_y$} $$
(2)

Maximalt böjande moment

För en fritt upplagd balk med en punktlast i mitten får vi ett styckvis linjärt momentdiagram där maximalt moment (till beloppet) fås under lasten - vi beräknar momentet här:

$$ M_{y \max} = M \paren{ x = \frac{L}{2} } = \frac{PL}{4} = \frac{200 \* 10^3 \* 4}{4} = 200 \kNm $$
(3)

Maximal tvärkraft

Tvärkraften är ett gradtal lägre än momentfunktionen och blir därmed styckvis konstant med värdet $-P/2$ till vänster om punktlasten och $P/2$ till höger om punktlasten (använd snittmetoden för att ta fram $T(x)$ vid osäkerhet på utseendet):

$$ T_{z \max} = \pm \frac{P}{2} = \pm \frac{200 \* 10^3}{2} = \pm 100 \kN $$
(4)

Eftersom tvärkraften är styckvis konstant, blir också maximal skjuvspänning styckvis konstant.

Yttröghetsmoment

För att kunna beräkna spänningarna behövs yttröghetsmomentet för tvärsnittet:

$$ \begin{align} I_y &= \sum_{i=1}^{3} \frac{bh^3}{12} + a_{zi} \cdot A_i = \paren{ \frac{t_\web h_\web^3}{12} + 0^2 \cdot t_\web h_\web } \\ &+ 2 \paren{ \frac{b_\flange t_\flange^3}{12} + \paren{ \frac{h_\web+t_\web}{2} }^2 b_\flange t_\flange } \\ &= \frac{8 \cdot 300^3}{12} + 2 \paren{ \frac{200 \cdot 12^3}{12} + \paren{ \frac{300 + 12}{2} }^2 \cdot 200 \* 12 } = 1.349 \cdot 10^{-4} \ \rm{m}^4 \end{align} $$
(5)

Spänningsberäkningar

Vi har nu det som behövs för att bestämma de sökta spänningarna

Normalspänningar

Störst normalspänning fås i över och underkant av flänsen:

$$ z_{\max} = \pm \paren{\frac{300}{2} + 12} = \pm 162 \mm $$
(6)

$$ \begin{align} \sig_{\max} &= \frac{M_{\max}}{I_y}z_{\max} = \frac{200 \* 10^3}{1.349 \* 10^{-4}} \* 162\*10^{-3} = 240 \MPa \\ \sig_{\min} &= \frac{M_{\max}}{I_y}z_{\min} = \frac{200 \* 10^3}{1.349 \* 10^{-4}} \* -162\*10^{-3} = - 240 \MPa \end{align} $$
(7)

Vi har alltså drag i underkanten av balken och tryck i överkanten av balken.

Skjuvspänningar

För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi $S_{y \max}=S_y(z=0)$. Trots detta beräknar vi maximal skjuvspänning i flänsen också -- främst som övning.

För spänning i livet, beräknas här det statiska ytmomentet för arean ovanför ett snitt vid ytcentrum $z=0 \gives$

$$ \begin{align} S_y(0) &= A_\flange a_{z1} + A_\web a_{z2} \\ &= \paren{t_\flange \cdot b_\flange} \frac{h_\web+t_\flange}{2} + \paren{\frac{h_\web}{2} \cdot t_\web } \frac{h_\web}{4} \\ &= \paren{12 \cdot 200} \frac{300+12}{2} + \paren{\frac{300}{2}\cdot 8} \frac{300}{4} \approx 4.64 \cdot 10^{-6} \meter^3 \end{align} $$
(8)

Maximal skjuvspänning i livet fås som

$$ \tau_{xz}^\max = \frac{S_{y\max} T_{z \max}}{I_y t_\web} = \frac{4.64 \*10^{-4} \* 100 \*10^3}{ 1.349 \* 10^{-4} \* 8\*10^{-3}} = \pm 43 \MPa $$
(9)

Maximal skjuvspänning i flänsen ges av

$$ \tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange}^\max T_{z \max}}{I_y t_\flange} $$
(10)

där det maximala statiska ytmomentet i flänsen fås vid ett snitt parallellt med z-axeln. Vi beräknar detta för delarean till höger (går lika bra att räkna till vänster) om snittet, där avståndet $a_{z \flange}$ fås som

$$ a_{z \flange} = \frac{h_\web+t_\web}{2} = \frac{300+12}{2}=156 \mm \gives $$

Så att det statiska ytmomentet blir

$$ S_{y\flange} = \frac{A_\flange}{2} \* a_{z\flange} = \frac{200}{2}\*12 \* 156\approx 1.87\* 10^{-4} \meter^3 $$
(11)

Oavsett om det är skjuvspänning i livet eller flänsen, är det avståndet i z-led som ska användas - detta hänger ihop med att tvärkraften verkar i z-led.

Skjuvspänningen i flänsen kan därför beräknas som:

$$ \tau_{xy}^\max = \frac{S_{y\flange} T_{z \max}}{I_y t_\flange} = \frac{1.87 \*10^{-4} \* 100 \*10^3}{ 1.349 \* 10^{-4} \* 12\*10^{-3}} = \pm 11.6 \MPa $$
(12)