$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.2 Enkelsymmetriskt I-tvärsnitt

Beräkna $I_y$ för tvärsnittet nedan. Tjockleksmåttet är $t=5$ cm.

Tvärsnittets yttröghetsmoment för böjning kring y-axeln: $I_y = 20.91 * 10^3 \text{ cm}^4$

Ytcentrum

Vi inför ett lokalt koordinatsystem $\eta-\zeta$ vid underkanten på tvärsnittet och delar in tvärsnittet i tre delar enligt nedan och ritar in positionen för ytcentrum i z-led.

För att beräkna ytcentrum behövs areorna för varje del och avstånden från vårt lokala koordinatsystem till varje delareas ytcentrum (i z-led) enligt figuren nedan:

  • $A_1 = A_2 = 3t^2$
  • $A_3 = 5t^2$
  • $a_{\zeta 1} = \frac{t}{2}$
  • $a_{\zeta 2} = t + \frac{3t}{2}$
  • $a_{\zeta 3} = t + 3t +\frac{t}{2}$

Ytcentrum kan därmed beräknas som:

$$ \begin{align} \cog{z} &= \frac{\sum_i a_{\zeta i} A_i }{\sum _i A_i} \\ &=\frac{ \frac{t}{2}\* 3t^2 + \paren{t + \frac{3t}{2}}\*3t^2 + \paren{t + 3t + \frac{t}{2}}\*5t^2 } {3t^2 + 3t^2 + 5t^2} \\ &= \frac{t^3}{2} \* \frac{ 3 + \paren{2+3}\*3 + \paren{2 + 6 + 1}\*5 } {11t^2} \\ &= \frac{63}{22}t \approx 14.3 \text{ cm} \\ \cog{y} &= \text{symmetrilinjen} \end{align} $$
(1)

Yttröghetsmoment

Steiners sats ger att yttröghetsmomentet för det sammansatta tvärsnittet ges av:

$$ \begin{align} I_y &= \sum_i \paren{ I_{yi} + A_i \cdot a_{zi}^2 } \end{align} $$
(2)

Avstånden $a_{zi}$ mäts från tvärsnittets ytcentrum till varje delareas ytcentrum.

$a_{z1} = \cog{z}-\frac{t}{2}$, $a_{z2} = \cog{z} - t - \frac{3t}{2}$, $a_{z3} =\cog{z} - t - 3t - \frac{t}{2}$ vilket ger

$$ \begin{align} I_y &= \paren{I_{y1} + A_1 a_{z1}^2} + \paren{I_{y2} + A_2 a_{z2}^2} + \paren{I_{y3} + A_3 a_{z3}^2} \\ &= \brackets{ \frac{3t \* t^3}{12} + 3t^2\* \paren{\cog{z}-\frac{t}{2} }^2 } + \brackets{ \frac{t \* (3t)^3}{12} + 3t^2\* \paren{\cog{z} - t - \frac{3t}{2} }^2 } \\ &+ \brackets{ \frac{5t \* t^3}{12} + 5t^2\* \paren{\cog{z} - t - 3t - \frac{t}{2} }^2 } =\ldots \approx 20.91 \* 10^3 \text{ cm}^4 \end{align} $$
(3)