$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.6 Drag- och tryckspänning i ett I-tvärsnitt

Beräkna maximal drag- och tryckspänning som uppstår i balken nedan med det dubbelsymmetriska I-tvärsnittet. Samma tvärsnitt som i C1 och C6.

Given data:

  • $t_1 = 20 \mm$
  • $t_2 = 10 \mm$
  • $B = 150 \mm$
  • $T_z = 500 \kN$

Skjuvspänningar: $\tau_{xz} = \frac{S_y * T}{I_y * t_2}$

  • $\tau_{xz}^1= 95.40 \MPa$
  • $\tau_{xz}^2 = 110.62 \MPa$
  • $\tau_{xz}^3 = 112.52 \MPa$
  • $\tau_{xz}^4 = 110.62 \MPa$
  • $\tau_{xz}^5 = 95.40 \MPa$.

Notera att skjuvspänningen är som störst i ytcentrum.

Lösningsgång

Skjuvspänningarna i punkterna $P_1-P_5$ (som alla ligger i livet) kan beräknas med Jourawskis formel

$$\tau_{xz} = \frac{S_y T_z}{I_y b}$$
(1)

där det endast är $S_y$ som varierar mellan de olika punkterna.

Yttröghetsmoment

Uttrycket för ytröghetsmomentet togs fram i exmpelvis C1 som

$$ \begin{align} I_y &= \frac{4B t_1^3}{3} + 9B^3t_1 + \frac{9t_2 B^3}{4} + 6B^2 t_1^2 \\ &= \frac{4 \*150 \* 20^3}{3} + 9\* 150^3 \* 20 + \frac{9 \* 10 \* 150^3}{4} + 6\* 150^2\* 20^2 \approx 7.39\* 10^{-4} \meter^4 \end{align} $$
(2)

Statiskt ytmoment

Vi beräknar här det statiska ytmomentet som "Area gånger hävarm", där:

"Arean" är delarean över snittet (eller under) "Hävarmen" är avståndet mellan tvärsnittets ytcentrum till delareans ytcentrum

Punkt 1:

$$ a_{z1} = \frac{3B+t_1}{2} $$
(3)

$$ S_{y1} = (t_1\*2B)\*a_{z1} = (20\*2\*150) \* \frac{450+20}{2} \approx 1.41 \* 10^{-3} \meter^3 $$
(4)

Punkt 2:

$$ a_{z2} = \frac{B}{2}+\frac{B}{2} $$
(5)

$$ S_{y2} = S_{y1} + (t_2\*B)\*a_{z2} = 1.41 \cdot 10^{-3} + (10+150) \cdot 150 \approx 1.64 \cdot 10^{-3} \meter^3 $$
(6)

Punkt 3:

$$ a_{z3} = \frac{B}{2} \cdot \frac{1}{2} $$
(7)

$$ \begin{align} S_{y3} &= S_{y2} + (t_2\*\frac{B}{2})\*a_{z3} \\ &= 1.64 \* 10^{-3} + 10\* \frac{150}{2} \* \frac{150}{4} \approx 1.66 \* 10^{-3} \meter^3 \end{align} $$
(8)

Vi beräknar här $S_{y3}$ som summan av tre bidrag, det går lika bra att betrakta de två delarna i livet som en del. Anledningen till den gjorda uppdelning blir tydlig i Punkt 4.

Punkt 4:

$$ a_{z4} = -\frac{B}{2}\* \frac{1}{2} = -a_{z3} $$
(9)

$$ S_{y4} = S_{y3} +(t_2\*\frac{B}{2})\*(-a_{z3}) = S_{y2} = 1.64 \* 10^{-3} \meter^3 $$
(10)

Vi ser därför att bidraget under ytcentrum tar ut motsvarande del ovanför ytcentrum.

Punkt 5:

$$ a_{z5} = -\frac{B}{2}-\frac{B}{2} = -a_{z2} $$
(11)

$$ S_{y5} = S_{y4} +(t_2\*\frac{B}{2})\*(-a_{z2}) = S_{y1} = 1.41 \* 10^{-3} \meter^3 $$
(12)

På samma sätt som för Punkt 4 har vi här en kompenserande effekt och alla liv-bidragen tar ut varandra, kvar får vi bara flänsen.

Skjuvspänningar

För det här tvärsnittet finner vi maximal skjuvspänning i tvärsnittets ytcentrum, d.v.s då har vi $S_{y \max}=S_y(z=0)$

Med de beräknade ytmomenten kan nu skjuvspänningarna beräknas:

$$ \tau_{xz} = \frac{S_{y} \*T_z}{I_y b} $$
(13)

där $b = t_2 = 10 \mm$, vi får:

$$ \tau_{xz}^1 = \frac{1.41 \* 10^{-3} \*500\* 10^{3}}{7.39\* 10^{-4} \* 0.010} = 95 \MPa $$
(14)

$$ \tau_{xz}^2 = \frac{1.41 \* 10^{-3} \*500\* 10^{3}}{7.39\* 10^{-4} \* 0.010} = 111 \MPa $$
(15)

$$ \tau_{xz}^3 = \frac{1.41 \* 10^{-3} \*500\* 10^{3}}{7.39\* 10^{-4} \* 0.010} = 112 \MPa $$
(16)

$$ \tau_{xz}^4 = \tau_{xz}^2 = 111 \MPa $$
(17)

$$ \tau_{xz}^5 = \tau_{xz}^1 =95 \MPa $$
(18)

Maximal skjuvspänning för livet fås i ytcentrum.