$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U2.4 Böjmotstånd hos två limmade brädor

Två brädor som först ligger löst på varandra limmas därefter ihop så att de inte kan glida mot varandra. Beräkna hur mycket böjmotståndet ökar genom att limma ihop brädorna. Svara även på vad det får för konsekvens för nedböjningen.

  • Böjmotståndet är dubbelt så stort för de hoplimmade brädorna.
  • Nedböjningen minskar med en faktor 4 för de hoplimmade brädorna.

Vi beräknar först yttröghetsmomenten för de två fallen: u-utan lim, m-med lim:

För fallet då bräderna endast ligger på varandra böjer de kring sina egna lokala axlar och verkar därmed som två oberoende balkar. Därför blir yttröghetsmomentet för två brädor, summan av yttröghetsmomentet för varje:

$$ I_{\rm u} = 2 \cdot \frac{b h^3}{12} $$
(1)

Då brädorna limmas, verkar de som en enda balk som då har höjden $2h$ och vi får

$$ I_{\rm m} = \frac{b (2h)^3}{12} = 8 \frac{b h^3}{12} $$
(2)

Yttröghetsmomentet ökar därmed med en faktor $I_{\rm m}/I_{\rm u} = 4$

Böjmotstånd

Definieras som $W_y = \frac{I_y}{z_\max}$ vilket ger

$$ W_u = \frac{2 \cdot \frac{b h^3}{12}}{\frac{h}{2}} = 4 \cdot \frac{b h^2}{12} $$
(3)

där vi delat med $h/2$ eftersom varje bräda böjer kring sitt ytcentrum och största avståndet blir då halva brädtjockleken.

För de limmade brädorna, får vi istället att det maximala z-avståndet blir $h$ vilket ger

$$ W_m = \frac{ 8 \frac{b h^3}{12}}{h} = 8 \frac{b h^2}{12} $$
(4)

Därmed ökar böjmotståndet med en faktor $\frac{W_m}{W_u} = 2$

Implikationer

Maximal spänning fås som $\sigma_\max = \frac{M_\max}{W}$ och därmed ser vi att maximal spänning kommer minska med en faktor två om brädorna limmas.

Om vi studerar nedböjningen av en balk, så är den omvänt proportionell mot yttröghetsmomentet (se exempelvis elementarfall), detta medför att nedböjningen kommer minska med en faktor fyra om brädorna limmas.