$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U1.4 Stångsystem utsatt för temperaturhöjning

Ett stångsystem bestående av två stänger, modellerade som linjärt termo-elastiska, är inspänt mellan två fixa väggar. Vid temperaturen $T_0$ är systemet spänningslöst.

  1. Beräkna maximala spänningen som uppstår i systemet då temperaturen höjs till $T_0 + \Delta T$.
  2. Beräkna punkten B:s rörelse under uppvärmningen.

Given data:

  • Temperaturutvidgningskoefficienten $\alpha = 1.25 \cdot 10^{-5} 1/{}^{\circ}\rm{C}$
  • Elasticitetsmodulen $E = 209.6\GPa$
  • $L_1 = 300 \mm$
  • $L_2 = 200 \mm$
  • Tvärsnittsarea för stång 1: $A_1 = 200 \mm^2$
  • Tvärsnittsarea för stång 2: $A_2 = 100 \mm^2$
  • $\Delta T = 50{}^{\circ}\rm{C}$

  1. Maximal spänning som uppstår i systemet: $\sigma = -187.1 \MPa$.
  2. Punkten B rör sig $0.054 \mm$ åt höger.

Lösningsgång

Stångsystemet är statiskt obestämt eftersom vi har två obekanta reaktionskrafter men bara en horisontell jämviktsekvation kan ställas upp. Med andra ord är det inte tillräckligt att enbart ställa upp jämvikt utan vi måste kombinera jämviktsamband, deformationsamband och materialsamband för att kunna beräkna snittkrafter och deformationer i strukturen.

Jämviktsamband

Gör ett snitt kring punkten B och ställ upp jämvikt för att bestämma en relation mellan normalkrafterna i bägge stängerna:

$$ \leftarrow: \quad N_1 - N_2 = 0 \Rightarrow N_1 = N_2 $$

Det är därmed samma normalkraft i stängerna.

Deformationsamband

Den totala deformationen $n$ av stångsystemet är noll och fås som summan av varje stångs deformation:

$$ n = n_1 + n_2 = 0 \Rightarrow $$

$$ \epsilon_1 L_1 + \epsilon_2 L_2 = 0 \gives $$

$$ \epsilon_2 = - \epsilon_1 \frac{L_1}{L_2} $$

Materialsamband:

Materialet modelleras med Hookes lag:

$$ \sigma = E \paren{\epsilon - \epsilon_\term } = E \paren{\epsilon - \alpha \Delta T } $$

vilket ger att normalkrafterna i stängerna kan skrivas

$$ N_1 = \sigma_1 A_1 = EA_1 \paren{ \epsilon_1 - \alpha \Delta T } $$

$$ N_2 = \sigma_2 A_2= EA_2 \paren{\epsilon_2 - \alpha \Delta T } $$

Kombinera deformation, jämvikt och material:

Jämvikten ger

$$ N_1=N_2 \equivalent \sigma_1 A_1 = \sigma_2 A_2 $$

Kombinera med materialsambandet $\gives$

$$ EA_1 \paren{ \epsilon_1 - \alpha \Delta T } = EA_2 \paren{\epsilon_2 - \alpha \Delta T} $$

Uttryck (exempelvis) $\epsilon_2$ i termer av $\epsilon_1$ och förkorta bort $E \gives$

$$ A_1 \paren{ \epsilon_1 - \alpha \Delta T } = A_2 \paren{- \epsilon_1 \frac{L_1}{L_2} - \alpha \Delta T} $$

Lös ut $\epsilon_1 \gives$

$$ \epsilon_1 = \frac{ \alpha \Delta T \paren{ A_1-A_2 }}{ \paren{ A_1 + A_2\frac{L_1}{L_2} } } = \frac{1.25 \cdot 10^{-5} \cdot 50 \cdot \paren{ 200-100 }} { \paren{ 200 + 100\frac{300}{200} } } = 1.7857\cdot 10^{-4} $$

Töjningen i stång 2 blir då $\epsilon_2 = -1.7857\cdot 10^{-4} \cdot\frac{300}{200} = -2.6786\cdot 10^{-4}$

Spänningarna:

$$ \sigma_1 = E(\epsilon_1 - \alpha \Delta T) = 209.6\cdot 10^9 \paren{ 1.7857\cdot 10^{-4} - 1.25 \cdot 10^{-5} \cdot 50} = -93.6 \MPa $$

$$ \sigma_2 = E(\epsilon_2 - \alpha \Delta T) = 209.6\cdot 10^9 \paren{ -2.6786\cdot 10^{-4} - 1.25 \cdot 10^{-5} \cdot 50} = -187.1 \MPa $$

Förflyttning av punkten B:

Kan exempelvis beräknas utifrån deformationen av stång 1: $n_1 = \epsilon_1 L_1 = 1.7857\cdot 10^{-4} \cdot 300 = 0.054 \mm$. Detta motsvarar B's rörelse eftersom $n_1 = u_{\rm B} - u_{\rm A} = u_{\rm B} - 0 = u_{\rm B}$.

Från uttrycket av $\epsilon_1$ kan vi se att om $A_1=A_2$ blir töjningen noll och återfår då fallet med en stång som är fast inspänd mellan två stöd.