$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U1.3 Stång utsatt för temperaturlast

Beräkna totala förlängningen $n$ av stången då den utsätts för:

  1. Enbart kraften $F$.
  2. Kraften $F$ och en temperaturhöjning $\Delta T$.

Jämför också normalspänningen i stången för de båda fallen.

Given data:

  • $L=1 \meter$
  • $\Delta T = 120 \ {}^{\circ} \rm{C}$
  • $F=10 \kN$
  • $E=200 \GPa$
  • $\alpha=1.25 \ 1/{}^{\circ} \rm{C}$
  • $A=100 \ \rm{mm}^2$

  • $n_1 = 5 \cdot 10^{-4}$ m
  • $n_2 = 20 \cdot 10^{-4}$ m
  • $\sigma_1 = \sigma_2$

Förlängningen = deformation (med positivt tecken) $=n = \epsilon \ L$

Där töjningen fås från Hookes lag med temperaturverkan

$$ \epsilon = \epsilon_{\rm mek} + \epsilon_{\rm term} = \frac{\sigma}{E} + \alpha \Delta T $$
(1)

$\epsilon$ är den totala töjningen (den man kan observera med ögat) $\epsilon_{\rm mek} $ är den mekaniska töjningen (orsakad av spänningar) $\epsilon_{\rm term} $ är den termiska töjningen (orsakad av temperaturförändringar)

1)

$$ \epsilon_1 = \frac{\sigma}{E} = \frac{N}{EA} = \frac{F}{EA} $$
(2)

$$ \gives n_1 = \frac{FL}{EA} = \frac{10\cdot10^4 \cdot 1}{200 \cdot 10^9 \cdot 100\cdot 10^{-6}} = 5\cdot 10^{-4} \meter $$
(3)

2)

$$ \epsilon_2 = \frac{F}{EA} + \alpha \Delta T $$
(4)

$$ \gives n_2 = \frac{FL}{EA} + \alpha \Delta T \ L = 5\cdot 10^{-4} \meter + 1.25\cdot 10^{-5} \cdot 120 \cdot 1 = 20\cdot 10^{-4} \meter $$
(5)

Spänningsberäkning

Spänningen i stången fås av Hookes lag ovan som

$$ \sigma = E \ \epsilon_{\rm mek} = E \ \paren{\epsilon - \epsilon_{\term}} $$
(6)

I fall 1 är totala töjningen $\epsilon = \epsilon_{\rm mek}$ och $\epsilon_{\term}=0 \gives$

$$ \sigma_1 = E \ \paren{\epsilon - \epsilon_{\term}} = E \ \epsilon_{\rm mek} $$
(7)

I fall 2 är totala töjningen $\epsilon = \epsilon_{\rm mek} + \epsilon_{\term}$ och $\epsilon_{\term}\neq 0 \gives$

$$ \sigma_2 = E \ \paren{\epsilon - \epsilon_{\term}}= E \ \paren{\epsilon_{\rm mek} + \epsilon_{\term} - \epsilon_{\term}} = E \ \epsilon_{\rm mek} $$
(8)

Med andra ord är spänningen samma för båda fallen. Att temperaturhöjningen inte ger upphov till några ytterligare spänningar är p.g.a. stången är fri att expandera.