$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U1.2 Stång med varierande area

En platt stång med tjockleken $t$ belastas av en punktlast vid B enligt figuren.

Beräkna förskjutningen i den fria änden, d.v.s. i punkten C.

Given data:

  • $F=40 \kN$
  • $E=200 \GPa$
  • $t=25 \ \rm{mm}$

Förskjutningen i punkten C är $u_{\rm{C}} = 0.097$ mm.

Förskjutningen i punkten C, $u_{\rm{C}}=u(x=2L)$, kan beräknas utifrån det kinematiska sambandet mellan töjning och förskjutning d.v.s.

$$ \epsilon = \od{u}{x} \qgives u_{\rm{C}} = \int_{0}^{2L} \epsilon(x) \dx $$

För att beräkna förskjutningen behöver vi därför ta fram ett uttryck för hur töjningen varierar längs med stången.

Töjning

Hookes lag ger:

$$ \sigma(x) = E \ \epsilon(x) \qgives \epsilon(x) =\frac{\sigma(x)}{E} =\frac{N(x)}{EA(x)} $$

Normalkrafter:

Del AB

$$ \eqleft N_{\rm{AB}} - F = 0 \qgives N_{\rm{AB}} = F $$

Del BC

$$ \eqleft N_{\rm{BC}} = 0 $$

Eftersom normalkraften är noll i delen BC blir också töjningen noll ($\epsilon_{\rm{BC}}=0$), vilket med andra ord innebär att delen BC inte deformeras.

Arean:

Vi har en linjär variation av tvärsnittsarean från $0.15t$ i A till $0.05t$ i C. Detta kan tecknas som

$$ A(x) = 0.15t - 0.10t \frac{x}{2L} = t(0.15 - 0.10 \frac{x}{2L}) $$

Det finns många sätt att komma fram till det här uttrycket, exempelvis kan räta linjens ekvation användas: Ta fram lutningen $k$ på räta linjens ekvation $(A=kx+m)$ som $\frac{0.05t-0.15t}{2L-0}$ och punkten $m$ kan bestämmas förslagsvis genom villkoret $A(0)=0.15t = k\cdot 0 + m \gives m=0.15t$

Töjningen för delen AB kan nu skrivas som $\epsilon_{\rm{AB}}(x) = \frac{F}{Et(0.15 - 0.10 \frac{x}{2L})}$

Förskjutning

Slutligen kan vi beräkna förskjutningen genom att utföra integralen över töjningen

$$ \begin{align} u_{\rm{C}} &= \int_{0}^{2L} \epsilon(x) \dx = \int_{0}^{L} \frac{F}{Et(0.15 - 0.10 \frac{x}{2L})} \dx \\ &= \frac{F}{Et} \int_{0}^{L} \frac{1}{(0.15 - 0.10 \frac{x}{2L})} \dx = \frac{F}{Et} \left. \frac{\ln(0.15 - 0.10 \frac{x}{2L}) }{-\frac{0.10}{2L}} \right|_0^L\\ &=\ldots \approx 0.097 \ \rm{mm} \end{align} $$