$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U1.5 Seriekopplat stångsystem

Ett stångsystem bestående av tre (seriekopplade) stänger belastas av två krafter enligt figuren.

  1. Beräkna reaktionskrafterna.
  2. Beräkna förskjutningen vid den vänstra kraften.
  3. Beräkna spänningen i mittersta stången.
  4. Rita ett normalkraftsdiagram längs med stångsystemet.

Givet:

Alla stängerna har elasticitetsmodulen $E$ och tvärsnittsarean $A$.

  1. $R_1=R_2=\frac{P}{3}$ Riktade inåt mot systemet
  2. Förskjutningen blir $\frac{PL}{3EA}$ riktad åt höger
  3. $\sigma_2=-\frac{2P}{3A}$ (tryckspänning)
  4. Normalkraftsdiagram

Lösningsgång

Stångsystemet är statiskt obestämt eftersom vi har två reaktionskrafter (en i varje ände) men kan endast ställa upp en jämviktsekvation (d.v.s. två obekanta och en ekvation. För att kunna beräkna reaktionskrafterna och krafterna i stängerna behöver vi kombinera både jämviktsamband, materialsamband och deformationssamband.

När normalkrafterna är kända kan deformationerna och spänningarna beräknas.

Jämviktsamband

Gör ett snitt runt varje knut och inför stångkrafterna, enligt figuren nedan. Teckna därefter horisontell jämvikt för varje snitt.

Knut 1:

$$\eqright N_2 - N_1 = -P$$
(1)

Knut 2:

$$\eqright N_3 - N_2 = P$$
(2)

Deformationssamband

Eftersom systemet är fast inspänt i bägge ändar förblir den totala längden oförändrad, d.v.s. deformationen av hela systemet är noll, $n=0$. Men eftersom deformationen av hela systemet är summan av deformationen för varje stång kan vi skriva

$$n=n_1+n_2+n_3=0$$
(3)

Denna ekvation beskriver ett geometriskt samband som relaterar deformationen mellan de olika elementen.

Materialsamband

Med Hookes lag kan vi uttrycka deformationen av varje stång i termer av tillhörande normalkraft:

$$ \sigma = E \epsilon \equivalent \epsilon = \frac{\sigma}{E} \gives n =\epsilon L = \frac{\sigma L}{E} = \frac{N L}{EA} \gives $$

$$ n_1 = \frac{N_1 L}{EA} \quad n_2 = \frac{N_2 L}{EA} \quad n_3 = \frac{N_3 L}{EA} $$

Kombination av samband

M.h.a. materialsambandet kan deformationssambandet skrivas

$$ n = n_1+n_2+n_3 = \frac{L}{EA}(N_1+N_2+N_3)=0 \gives N_1+N_2+N_3=0 $$

Kombinera nu denna ekvation med de två jämviktsekvationerna ovan:

$$ \begin{align}&N_1+N_2+N_3 = N_1 +(N_1-P) +(P+N_2)= \\ &2N_1 +(N1-P)=0 \gives N_1=\frac{P}{3}\end{align} $$

De andra normalkrafterna beräknas nu till

$$ N_2 = N_1-P =\frac{P}{3}-P=-\frac{2P}{3} $$

$$ N_3 = N_2+P =-\frac{2P}{3}+P=\frac{P}{3} $$

Vi har nu den information vi behöver för att kunna svara på frågorna

Reaktionskrafter

Horisontell jämvikt ger:

$R_1=N_1=\frac{P}{3}$ och $R_2=N_3=\frac{P}{3}$.

Förskjutning vid vänstra lasten

Deformationen av första stången (= skillnad i förskjutning mellan dess bägge ändar)

$$ n_1=u_2-u_1=u_2-0=u_2=\frac{N_1L}{EA}=\frac{PL}{3EA} $$

Spänningen i mittersta stången

Normalspänningen fås som kraft genom area:

$\sigma_2=\frac{N_2}{A} = -\frac{2P}{3A}$ d.v.s. en tryckspänning.

Normalkraftsdiagram

Normalkraften i varje stång är konstant och gör ett hopp vid gränsen mellan elementen. Notera att dessa hopp exakt motsvarar den yttre pålagda lasten.