$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U6.1 Normal och skjuvspänning på en snittyta

Beräkna normal- och skjuvspänningen på en snittyta som bildar vinkeln $\varphi$ mot z-axeln. Beräkna även maximal skjuvspännings som uppstår på något snitt. Stången har tvärsnittsarean $A$.

  • $\sigma_{\varphi} = \frac{P}{2A}\paren{1 + \cos(2\varphi)}$
  • $\tau_{\varphi} = \frac{P}{2A} \sin(2\varphi)$
  • $\tau_\max = \frac{P}{2A}$

Spänningstillstånd

Vi har ett enaxligt spänningstillstånd med $\sigma_x = \frac{P}{A}$ och övriga komponenter lika med noll. Detta innebär att det aktuella spänningstillståndet även är ett huvudspänningstillstånd och huvudspänningarna fås direkt som

$$ \sigma_{\rm I} = \frac{P}{A} \qquad \sigma_{\rm{II}} = \sigma_{\rm{III}} = 0 $$
(1)

Späningsmatrisen för det enaxliga tillståndet ges av

$$ \S = \begin{pmatrix} \frac{P}{A} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
(2)

Rita upp Mohrs spänningscirkel

Då huvudspänningarna är kända kan cirkeln direkt ritas upp.

  • Mittpunkten: $\sigma_{\rm m} = \frac{\sigma_{\rm{I}}}{2} = \frac{P}{2A}$
  • Radien: $R = \frac{\sigma_{\rm{I}}}{2} = \frac{P}{2A}$

Spänningstillståndet vid en vinkel $\varphi$ fås geometriskt ur figuren (för en vinkel $2 \varphi$ som

$$ \sigma_{\varphi} = \sigma_{\rm m} + R \cdot \cos(2 \varphi) = \frac{P}{2A}\paren{1 + \cos(2\varphi)} $$
(3)

$$ \tau_{\varphi} = R \cdot \sin(2 \varphi) = \frac{P}{2A} \sin(2\varphi) $$
(4)

Störst skjuvspänning (till beloppet) får vi då $2\varphi = \pm 90^\circ$ eller $\varphi = \pm 45^\circ \gives$ $\tau_\max = R$ $= \frac{P}{2A}$. Detta framgår även utifrån figuren.