$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U6.3 Huvudspänningar i 3D

Spänningstillståndet i en punkt kan alltid beskrivas med spänningsmatrisen $\S$ som här ges av

$$ \S = \begin{pmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{pmatrix} \MPa $$

Beräkna:

  • Spänningsvektorn $\s$ på snittytan given av $\bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$
  • Normal och skjuvspänningen på ytan definierad av $\bar{\normal}$
  • Huvudspänningarna och första huvudspänningsriktningen $\normal_{\rm I}$

  • $\s =\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}160 \\ 60\\ 120\end{pmatrix} \MPa$
  • $\sigma = \frac{200}{3} \MPa$ $\tau = 53 \MPa$
  • $n_{\rm{I}y}=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Spänningsvektorn

$$ \s = \S \* \normal = \begin{pmatrix} 80 & 40 & 0 \\ 40 & 0 & 20 \\ 0 & 20 & 80 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 160 \\ 60 \\ 120 \end{pmatrix} \MPa $$
(1)

Normal- och skjuvspänning

Magnituden på normalspänningen kan beräknas som projektionen av $\s$ på normalvektorn $\normal$

$$ \begin{align} \sigma &= \s \cdot \bar{\normal} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 160 & 60 & 120\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}160\cdot 1 + 60 \cdot 2 + 120\cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{200}{3} \MPa \end{align} $$
(2)

Skjuvspänningen beräknas exempelvis m.h.a. Pythagoras sats

$$ \abs{\s}^2 = \sigma^2 + \tau^2 \qgives \tau = \sqrt{\abs{\s}^2 - \sigma^2} $$
(3)

med $\abs{\s}^2 = \s * \s$. Vi får

$$ \tau = \sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{6}^2} \begin{pmatrix} 160^2 + 60^2 + 120^2 \end{pmatrix} -\paren{\frac{200}{3}}^2} \approx 53.1 \MPa $$
(4)

Huvuspänningar och första huvudspänningsriktningen

Huvudspänningarna beräknas genom att lösa egenvärdesproblemet som leder till ekvationen $\det \paren{\S -\sigma \eye} = 0$, vilket för ett tredimensionellt spänningstillstånd ($\S$ är 3x3) ger tre stycken huvudspänningar.

Utveckla determinanten, exempelvis med Sarrus regel eller med underdeterminanter (Laplaceutveckling), se bl.a. Wikipedia.

$$ \begin{align} \det \paren{\S -\sigma \eye} &= \paren{80-\sigma}(-\sigma)\paren{80-\sigma} + 40 \cdot 20 \cdot 0 + 0\cdot 40 \cdot 20 - \\ &\paren{ 0\cdot (-\sigma) \cdot 0 + 20\cdot 20\paren{80-\sigma} + \paren{80 - \sigma}\cdot 40 \cdot 40} = 0 \gives \\ &\paren{80 - \sigma}\paren{ \paren{80-\sigma}(-\sigma) - 20^2 -40^2 } = 0 \end{align} $$
(5)

En rot är 80 MPa och de andra två kan lösas utifrån uttrycket som står innanför den högra parentesen ovan, vi får efter förenkling $\sigma^2 -80 \sigma -2000 = 0$ med lösningar:

$$ \sigma = \frac{80}{2} \pm \sqrt{ \paren{\frac{80}{2}}^2 + 2000 }= 40 \pm 60 \MPa $$
(6)

De tre huvudspänningarna, ordnade i storleksordning, blir därmed

  • $\sigma_{\rm I} = 100 \MPa$
  • $\sigma_{\rm II} = 80 \MPa$
  • $\sigma_{\rm III} = -20 \MPa$

Huvudspänningsriktning

Vi återgår till egenvärdesproblemet $\paren{\S -\sigma \eye}\normal =\b{0} $, vilket för den första huvudspänningen ger

$$ \paren{\S -\sigma_{\rm I} \eye}\normal_{\rm I} =\b{0} $$
(7)

och med utskrivna matriser och vektorer

$$ \begin{pmatrix} 80-\sigma_{\rm I} & 40 & 0 \\ 40 & -\sigma_{\rm I} & 20 \\ 0 & 20 & 80-\sigma_{\rm I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{pmatrix} =\\ \begin{pmatrix} -20 & 40 & 0 \\ 40 & -100 & 20 \\ 0 & 20 & -20 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}n_{\rm{I}x} \\ n_{\rm{I}y} \\ n_{\rm{I}z} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
(8)

Första ekvationen ger att

$$ -20n_{\rm{I}x} + 40 n_{\rm{I}y} = 0 \equivalent n_{\rm{I}x} = 2 n_{\rm{I}y} $$
(9)

Tredje ekvationen ger att

$$ 20n_{\rm{I}y} - 20 n_{\rm{I}z} = 0 \equivalent n_{\rm{I}z} = n_{\rm{I}y} $$
(10)

Sätter vi in dessa uttryck för $n_{\rm Ix}$ och $n_{\rm Iz}$ får vi

$$ \normal_{\rm I} =\begin{pmatrix}n_{\rm{I}x} \\\ n_{\rm{I}y} \\\ n_{\rm{I}z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\\ 1 \\\ 1 \end{pmatrix} n_{\rm{I}y} $$
(11)

normalisera för att hitta en enhetsvektor

$$ \hat{n}_{\rm{I}} = \frac{ n_{\rm{I}} }{ \abs{n_{\rm{I}}} } = \frac{ n_{\rm{I}} }{ \sqrt{ n_{\rm{I}}\*n_{\rm{I}} } } = \frac{1}{n_{\rm{I}y} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} n_{\rm{I}y}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
(12)