$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U6.2 Beräkning av huvudspänningar med Mohrs cirkel

För konsolbalken nedan med rektangulärt tvärsnitt, beräkna och rita huvudspänningarna i punkten A, m.h.a. Mohrs cirkel. Punkten ligger på ett z-avstånd $z_{\rm A}$ från tvärsnittets ytcentrum.

Given data:

  • $z_{\rm A} = 30 \mm$
  • $L = 750 \mm$
  • $b = 100 \mm$
  • $h = 150 \mm$
  • $P = 120 \kN$

Huvudspänningarna:

  • $\sigma_{\rm I} = 97 \MPa$
  • $\sigma_{\rm III} = -1 \MPa$
  • $\sigma_{\rm II} = 0 \MPa$

Huvudspänningsriktningarna fås genom att rotera koordinatsystemet medurs en vinkel $5.9^{\circ}$.

Lösningsgång

För att kunna beräkna huvudspänningarna i punkten A, behöver vi först beräkna spänningstillståndet i punkten. För det aktuella lastfallet får vi normalspänningar och skjuvspänningar p.g.a. böjning av balken.

$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y}z$ och $\tau_{xz} = \frac{S_y T_z}{I_y b}$

och där övriga spänningskomponenter är noll.

Snittkrafter

Snitta vid infästningen och ställ upp jämvikt

$$ \equp T_{\rm A} = -P = -120 \kN $$
(1)

$$ \eqccwmom{A} M_{\rm A} = PL = 90 \kNm $$
(2)

Yttröghetsmomentet: $I_y = \frac{b h^3}{12} \approx 2.81 * 10^{-5} \meter^4$

Normalspänning

$$ \sigma_{\rm A} = \frac{M_{\rm A}}{I_y}z_{\rm A} = \frac{ 90 \* 10^3 }{2.81\* 10^{-5}} \* 0.030 \approx 96 \MPa $$
(3)

Skjuvspänning

Statiskt ytmoment vid A:

$$ S_{\rm A} = A\*a = b(\frac{h}{2}-z_{\rm A}) \cdot \paren{ z_{\rm A} + \frac{\frac{h}{2}-z_{\rm A}}{2} }\ldots = 2.36\* 10^{-4} \meter^3 $$
(4)

$$ \tau_{\rm A} = \frac{\S_{\rm A} T_{\rm A} }{I_y b} = \frac{2.36\* 10^{-4} (-120) \* 10^3}{ 2.81\*10^{-5} \* 0.10 } \approx -10\MPa $$
(5)

Spänningstillståndet i punkten A

$$ \S = \begin{pmatrix} 96 & -10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} \MPa $$
(6)

Observera riktningarna på skjuvspänningarna.

Huvudspänningar med Mohrs cirkel

Mittpunkten av cirkeln fås som $\sigma_{\rm m} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = 48 \MPa$

Radien av cirkeln kan beräknas som

$$ \tau = \sqrt{ \tau_{xz}^2 + (\sigma_x-\sigma_{\rm m}) } = \sqrt{(-10)^2 + \paren{96-48}^2} = 49 \MPa $$
(7)

Mohrs cirkel kan därmed ritas upp

vilket ger huvudspänningarna

  • $\sigma_{\rm I} = \sigma_{\rm m} + R = 48 +49 = 97 \MPa$
  • $\sigma_{\rm III} = \sigma_{\rm m} - R = 48 -49 = -1 \MPa$
  • $\sigma_{\rm II} = 0\MPa$

Huvudspänningsriktningar:

Beräknas genom

$$ \tan(2\varphi) = \frac{ \abs{\tau_{xz}} }{ \abs{ \sigma_x - \sigma_{\rm m} }} \gives \varphi = \frac{1}{2} \arctan(\frac{10}{96-48})\approx 5.9^{\circ} $$
(8)

Nedan visas rotationen av spänningstillståndet från vårt ursprungliga $xz$-system till vårt huvudspänningssystem.