$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U3.2 Tvärkraft och momentdiagram för statiskt obestämd balk

Rita tvär- och momentdiagram för den statiskt obestämda balken nedan och beräkna även maximalt fältmoment. Ta fram reaktionskrafterna genom att använda elementarfall.

  • $R_{\rm A} = \frac{5qL}{8}$
  • $R_{\rm B} = \frac{3qL}{8}$
  • $M_{\rm A} =\frac{qL^2}{8}$
  • $M_{\max} =-\frac{9qL^2}{128}$

Vi inför reaktionskrafter

Reaktionskrafter och inspänningsmoment kan beräknas m.h.a. elementarfall, vi utgår från fallet som matchar uppgiften genom att spegla elementarfallet:

Elementarfall: fast inspänd på ena sidan

Från elementarfallet ser vi att $R_{\rm A}$ motsvaras av $R_2$, $R_{\rm B}$ motsvaras av $R_1$ och $M_{\rm A}$ motsvaras av $M_2$. Reaktionskrafterna kan därför tecknas:

$$ R_{\rm A} = \braces{ R_2 = W_1 \cdot \frac{5L}{8} }= \frac{5qL}{8} $$
(1)

$$ R_{\rm B} = \braces{ R_1 = W_1 \cdot \frac{3L}{8} }= \frac{3qL}{8} $$
(2)

$$ M_{\rm A} = \braces{ M_2 = W_1 \cdot \frac{L^2}{8} }= \frac{qL^2}{8} $$
(3)

Snittkrafter

$\equp T(x) = -R_{\rm A} + q x = -\frac{5qL}{8} + qx = \frac{qL}{8}\paren{ 8 \frac{x}{L} - 5}$

$$ \begin{align} \eqcwmom{x} M(x) &= M_{\rm A} - R_{\rm A}x + q x \cdot \frac{x}{2} = \frac{qL^2}{8} -\frac{5qL}{8}x + \frac{qx^2}{2} \\\ &= \frac{qL^2}{8} \paren{1-5\frac{x}{L} + 4\paren{\frac{x}{L}}^2} \end{align} $$
(4)

Maximalt moment fås där tvärkraften är noll $T(x)=0 \Rightarrow x=\frac{5L}{8}$. Momentet blir då

$$ M_{\max} = M(x=5L/8) = \frac{qL^2}{8} \paren{1-5\frac{5L}{8L} + 4\paren{\frac{5L}{8L}}^2} =\ldots = -\frac{9 qL^2}{128} $$
(5)

Diagrammen kan därefter ritas upp