$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U3.3 Superposition av momentdiagram

Rita momentdiagram för balken m.h.a. superposition.

Inför reaktionskrafter och dela upp balken i två enklare lastfall:

Vi kan beräkna det totala momentdiagrammet som summan av två momentdiagram framtagna från enklare belastningar.

Balk med punktmoment:

Detta lastfall ger ett linjärt moment från $M_{\rm A}$ ner till noll i stöd B.

Man ser detta genom att: beräkna reaktionskrafter, snitta och ställa upp uttryck för momentet som funktion av x:

Jämvikt runt B ger: $R_{\rm A}^1 \cdot L-M_{\rm A}=0 \gives R_{\rm A}^1 = \frac{M_{\rm A}}{L}$

Snitta och teckna $M^1(x)$:

$$ M^1(x) = M_{\rm A} - R_{\rm A} x = M_{\rm A} \paren{1- \frac{x}{L}} $$
(1)

Balk med punktlast i mitten:

Detta lastfall ger ett bilinjärt momentdiagram som är noll vid stöden och max i mitten med storlek $-PL/4$.

Är du osäker på detta? Beräkna då reaktionskrafter, snitta och ställ upp uttryck för momentet:

Symmetri ger: $R_{\rm A}^2 = R_{\rm B}^2 = \frac{P}{2}$

Snitta och teckna $M^2(x)$, ett snitt till vänster om punktlasten och ett till höger:

$$ M_I^2(x) = - R_{\rm A} x = -\frac{P}{2}x \quad $$
(2)
och
$$ \ M_{II}^2(x) = - R_{\rm A} x + P\paren{x-\frac{L}{2}} = \frac{P}{2}(x-L) $$
(3)

Momentet i mitten blir $M_I^2(L/2) = PL/4$

Vi ritar upp momentdiagrammen för varje lastfall och summerar dem för att få det totala:

Många gånger kan det vara smidigt att använda superposition av lastfall som vi gjort här. Speciellt snabbt och effektivt blir det om man redan vet momentdiagrammens form för de enklare lastfallen. Då behöver man inte ta fram reaktionskrafter och ställa upp uttryck för momentet (om man inte söker extrempunkter och därför måste derivera och söka nollpunkter).