$\newcommand{\b}[1]{\mathbf #1} \newcommand{\eye}{\mathbf I} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\S}{\b{S}} \newcommand{\s}{\b{s}} \newcommand{\Kv}{K_{\mathrm{v}}} \newcommand{\normal}{\b{n}} \newcommand{\medel}{\rm{medel}} \newcommand{\gives}{\Rightarrow \qquad} \newcommand{\qgives}{\qquad \gives} \newcommand{\qgivess}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\rot}{\varphi} \newcommand{\sige}{\sigma_{\rm e}} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\equivalent}{\quad \Leftrightarrow \quad} \newcommand{\kilo}{\ \mathrm{k}} \newcommand{\Newton}{\ \mathrm{N}} \newcommand{\mm}{\ \mathrm{mm}} \newcommand{\meter}{\ \mathrm{m}} \newcommand{\Nm}{\ \mathrm{Nm}} \newcommand{\kNm}{\ \mathrm{kNm}} \newcommand{\kN}{\ \mathrm{kN}} \newcommand{\Pa}{\ \mathrm{Pa}} \newcommand{\kPa}{\ \mathrm{kPa}} \newcommand{\MPa}{\ \mathrm{MPa}} \newcommand{\GPa}{\ \mathrm{GPa}} \newcommand{\mean}[1]{\bar #1} \newcommand{\eqright}{\longrightarrow: \qquad} \newcommand{\eqleft}{\longleftarrow: \qquad} \newcommand{\equp}{\uparrow: \qquad} \newcommand{\eqdown}{\downarrow: \qquad} \newcommand{\eqcwmom}[1]{\stackrel{\curvearrowright}{#1}: \qquad} \newcommand{\eqccwmom}[1]{\stackrel{ \curvearrowleft }{ #1 }: \qquad} \newcommand{\Dx}{\Delta x} \newcommand{\Dy}{\Delta y} \newcommand{\Dz}{\Delta z} \newcommand{\dx}{\mathrm{d} x} \newcommand{\dy}{\mathrm{d} y} \newcommand{\dz}{\mathrm{d} z} \newcommand{\term}{\mathrm{term}} \newcommand{\Mv}{M_{\mathrm{v}}} \newcommand{\Kx}{K_{\mathrm{x}}} \newcommand{\shear}{\gamma} \renewcommand{\*}{\cdot} \renewcommand{\cd}{\cdot} \newcommand{\R}[2][]{R_{\rm{#2}}^{\rm{#1}}} \renewcommand{\bis}{{\prime \prime}} \renewcommand{\tris}{{\prime \prime \prime}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\Delta #1}{\Delta #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial\: #1}{\partial\: #2}} \newcommand{\od}[2]{\frac{\mathrm{d}\: #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\odd}[2]{\dfrac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} #2^2}} \newcommand{\DGK}{D_{\rm{GK}}} \newcommand{\paren}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\brackets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\yield}{\rm{s}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert} \newcommand{\smat}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\dr}{\rm{d} r} \newcommand{\Dr}{\Delta r} \newcommand{\Drot}{\Delta \rot} \newcommand{\Kr}{K_{\rm{r}}} \newcommand{\q}{q_0} \newcommand{\ubrace}[2]{\underbrace{#1}_{#2}} \newcommand{\reac}[1]{R_{\rm #1}} \newcommand{\dA}{\ \rm{d} A} \newcommand{\cog}[1]{#1_{\rm{yc}}} \newcommand{\cogi}[1]{#1_{\rm{yc i}}} \newcommand{\tot}{\rm{tot}} \newcommand{\parts}{\rm{delar}} \newcommand{\nparts}{\# \parts} \newcommand{\flange}{\rm{fläns}} \newcommand{\web}{\rm{liv}} \renewcommand{\c}[1]{C_{#1}} \newcommand{\crit}{\rm{kr}} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newenvironment{psmatrix} {\left(\begin{smallmatrix}} {\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\qv}{q_{\mathrm{v}}}$

U3.1 Fritt upplagd balk med triangellast

Beräkna maximalt snittmoment som uppstår i balken orsakad av den utbredda lasten och som har en maximal lastintensitet på $q_{\max} = 2Q/3L$.

Maximalt moment fås vid stödet B: $M_{\rm B} = \frac{8Q L}{27}$

Lösningsgång

Vi börjar med att ta fram reaktionskrafter och använder därefter snittmetoden för att teckna momentet $M(x)$. Från detta kan vi sedan bestämma maximalt moment.

Lastintensiteten $q$ är en linjär funktion som antar värdet $q_{\max}$ vid sträckan $3L$ och kan därmed tecknas som (multiplicerar maxlasten med en faktor $x/3L$ som går mellan värdet 0 och 1)

$$q(x) = q_{\max} \frac{x}{3L} = \frac{2Q}{3L} \frac{x}{3L} = \frac{2Qx}{9L^2}$$
(1)

Notera att lasten verkar i negativ z-riktning. Kraftresultanten $R$ till triangellasten kan exempelvis beräknas som "arean = höjden * basen / 2" vilket ger $R=Q$.

Reaktionskrafter

Beräkna reaktionskrafterna genom att frilägga hela balken och sedan ställa upp global jämvikt. Vi illustrerar två olika metoder för detta:

Alternativ 1: Användning av kraftresultanter och hävarmar

$$ \begin{align*} \eqright& H = 0 \\ \equp& \R{A} + \R{B} - Q = 0\\ \eqccwmom{A}& \R{B} \* 2L - \underbrace{Q}_{\text{resultant}} \* \underbrace{ \frac{2}{3} \*3L }_{\text{hävarm}}= 0 \qgives \R{B} = Q \\ \gives& \R{A} = Q - \R{B} = 0 \end{align*} $$
(2)

Alternativ 2: Användning av integraler (den mest generella)

$$ \begin{align*} \eqright& H = 0 \\ \equp& \R{A} + \R{B} - \int_0^{3L} q(x)\dx = \R{A} + \R{B} - Q = 0\\ \eqccwmom{A}& \R{B} \* 2L - \int_0^{3L} q(x)\*x \dx = \\ & \R{B} \* 2L - \int_0^{3L} \frac{2Qx}{9L^2}\*x \dx = \R{B} \* 2L - \frac{2Q}{9L^2} \* \frac{(3L)^3}{3} =\\ &\R{B} \* 2L -2QL = 0 \qgives \R{B} = Q\\ \gives& \R{A} = Q - \R{B} = 0 \end{align*} $$
(3)

Båda metoderna ger naturligtvis samma svar och det är en smakfråga vilken metod man föredrar att använda.

Eftersom resultanten till lasten verkar precis ovanför stöd B kommer också hela lasten gå ner i det stödet och därför blir den vänstra reaktionskraften noll.

Snittmoment

Snitta där det "händer något", d.v.s. mellan stöd eller där lastintensiteten förändras. I det här fallet räcker två snitt (innan och efter det vänstra stödet).

Snitt I: $0 \leq x \leq 2L$

$$ \begin{align*} \eqcwmom{x}& M(x) = -\R{A} \* x + \underbrace{ q(x)\*x \* \frac{1}{2} }_{\text{resultant}} \* \underbrace{\frac{x}{3}}_{\text{hävarm}} = \frac{2Qx}{9L^2} \* \frac{x^2}{6} = \frac{Qx^3}{27L^2} \\ \end{align*} $$
(4)

Snitt II: $2L \leq x \leq 3L$

$$ \begin{align*} \eqcwmom{x} M(x) &= -\R{A} \* x + \underbrace{ q(x)\*x \* \frac{1}{2} }_{\text{resultant}} \* \underbrace{\frac{x}{3}}_{\text{hävarm}} - \R{B} \* \paren{x-2L}\\\ &=\frac{Qx^3}{27L^2} - Q \* \paren{x-2L} \end{align*} $$
(5)

Momentdiagram

Genom att rita ut momentfördelningen för varje snitt (i det här fallet två) inses direkt att maximalt moment fås vid stödet B och kan beräknas till $M_{\rm B} = \frac{8Q L}{27}$.